杜立平甘肃省庆阳市宁县第三中学745213
摘要:文章利用均值不等式对数列()n极限的存在性给出了简单的证明,并从理论上说明了数e的存在性,采用假设的逆向思维对数e的无理性作了讨论;针对数e是自然对数的底数,以e为底可以使许多的式子得以简化的条件,举出了数e的有关简单应用.
关键词:自然对数利息本金双曲线
一、数e的存在性
在数学分析中我们曾学习过利用数列}的单调有界性证明数e存在性的证明方法,在此采用均值不等式的方法对数e的存在性作以证明。
二、无理数e的应用
1.无理数e在金融数学上的应用
例1,假如有人到银行去存了100元,年利率为5%,到了第一年末,就有105元。如果第二年他又将105元作为本金再存入银行,依次类推到10年后,他便有10010≈162.89元,这是每一年将利息加入到本金一次的结果。现在要以每月、每星期、每一天、每小时…把利息加入到本金一次存入银行,那么,他10年后会是多少?会不会无穷多?
分析:以一年将利息加入到本金,第一年末可得100)。如果以每一月将利息加入到本金一次,那么,第一年末可得100现将一年分为n次,以次为单位将利息加入到本金一次,第一年末可得100),从而10年后可得100)10。
解:设原本金为P0元,利息为R%,将一年分n次将利息加入到本金一次,设原利总和为P,n年后便有:
构造法解题是一种创造性思维活动,其关键是丰富的联想和正确的转化,通过对题设全面分析,从中发现可用的构造的因素,并借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式,或是与其等价的新问题,解出所构造的问题,从而使原问题获得解答。就构造的对象来说,其表现形式是多种多样的,没有完全固定的模式,除了以上介绍的方法外,还有构造集合、构造概率等方法。因此,利用构造法解决中学数学问题,不仅可以培养学生分析问题、解决问题的能力,同时可以培养学生的想象能力和灵感,使学生体会到数学的美妙,更重要的是培养学生的创造性思维,创造性思维对于创新型人才是至关重要的。