全面认识中学数学中的“数形结合”

全面认识中学数学中的“数形结合”

许志军

许志军福建省南靖县城关中学

【摘要】数形结合思想是把代数上的“数”与几何上的“形”结合起来考虑问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论，既分析其代数含义，又挖掘其几何背景，在代数和几何的结合上寻找解题思路。

【关键词】数形结合方程方法图形

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2011）08－0170－01

数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位，在中考数学试题中是重点考查、运用的数学思想方法之一。

一中学数学中的“数形结合”

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，其本质就是研究数与形两个问题：这两个问题是数学教学的基础，所有的数学问题都是围绕着这两个问题而展开的。每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解题中依据题目中所提供的信息及数量关系的结构特征，通过作图（函数图象、几何图形、示意图）来表述、反映问题中数量间个元素的关联，同时对图形实施某些操作，往往能使问题轻松得到解决。而形的问题借助数去思考，把代数、几何知识相互转化，相互利用。解题过程使“数”与“形”各展其长，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，这就是数形结合的思想方法。

数形结合思想是把代数上的“数”（代数式或变量之间的数量关系）与几何上的“形”（曲线或区域）结合起来考虑问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目中的条件和结论，既分析其代数含义，又挖掘其几何背景，在代数和几何的结合上寻找解题思路。数形结合中的“数”，既是一般意义上的数，如实数、复数等，也可以是表示数的式，如代数式或超越式，甚至它还可以是变数即函数；“形”当然是各种形式的数的几何图形表示。

在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题，这就是数形结合中的又一个重要方面——以数解形；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即转化为几何问题，给数学问题以直观图像的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为形象，这就是数形结合中的另一个重要方面——以形助数。

二“数形结合”具体解题指导

1．运用数形结合的主要途径

第一是通过坐标系。几何形式具有直观形象的优势，代数形式也具有便于计算的长处，因而也有具有操作程序化的优势。具体在解决问题时最好将二者结合起来。

第二是转化。通过分析数式的结构，把问题转化到另一个角度考虑，比如：数学中有很多概念，如距离、角度、斜率、点集、实数的绝对值都有明显的几何背景，它们都是容易转化成“形”的，因此题目中设计到这些问题时，可以用数形结合法来解决。

第三是构造。通过构造几何模型，构造函数式，构造图标等等。比如：函数的图像为数形结合带来了便利条件，从图像上寻找突破口常常是解决问题的关键。如果方程自身或方程两边（或通过变形）的表达式有明显的几何意义，可以把抽象的数量关系转化成图形来解决。由于方程的解是函数图像的横坐标，因此，对一些解起来很困难的方程，用数形结合的方法求解是很重要的方法，特别是判断方程解的个数，而不是求方程的具体值时，这样解题更方便，也使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算过程。

2．运用数形结合的基本思路

第一，根据数式的结构特征，通过上述三个途径，作出与之相适应的几何图形（“数”上构形），并利用图形的特征和规律，解决数式问题，就是利用图形分心问题，由题目本身提供信息，在作图过程中，实施一系列实验性操作，边画图、边分析、边思考、边解决。

第二，将图形的信息部分或全部转换成代数信息，消弱或清除形的部分（形中觅数），使要解决的形的问题转化成数量关系的讨论。使问题得到解决。

3．需要注意的问题

数形结合虽然有利用解决思路，探究结论，优化解题过程，但应该注意的是：（1）它是解答选择题和填空题的有效方法，在解答题中应慎重使用，若应用时，解答过程应尽可能表达清晰、详尽，某些运算或推理过程不得随便省略。（2）有些数式虽然有一定的图形背景，但求解不一定简单，可见它有一定的局限性，不应过分依赖及片面追求，只需将常见的数形转化类型的题目掌握好，运用好就可以。（3）在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及其运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地“由形到数”与“由形变数”地运用数形结合的思维方法。

通过原形来注释许多代数问题都可以通过画出图形或图象找到直观的解释，从而受到启发找到解题捷径，简化解题过程，但需要注意的是：（1）图象解题的严密性；（2）图形与原来题意的等价性；（3）图形的准确性；（4）图象的简单性；（5）图形的完整性。

总之，数形结合思想方法有助于概念的相互转化，从而利用数形的辩证统一和各自的优势寻觅出解决问题的途径，使初看很难或者很繁琐的数学问题变得简单和容易。数形结合是一种典型的数学信息转换，它具有直观性、灵活性、深刻性和综合性的特点。因此，数形结合是一把“双刃剑”，特别对解答选择题和填空题则是一条重要的捷径。