导体棒绕固定点转动切割磁感线问题研究

导体棒绕固定点转动切割磁感线问题研究

高成军

【摘要】导体在磁场中绕固定点作切割磁感线转动时，会产生感应电动势，从而形成电势差，如果存在闭合回路，就会伴随着能量转化问题，这类问题学生处理起来比较困难，是学习的一个难点。本文从此类问题的题根（最简单、最原始题）开始，结合拓展例题总结处理此类问题的方法与技巧，溯本求源，举一反三，循序渐进，逐步提高，培养学生的迁移能力、归纳总结能力与创新能力。

【关键词】磁场中导体棒绕固定点转动题根题型转化方法研究

【中图分类号】G633.7【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2008）12－0142－03

题根：如图1所示：一根导体棒oa长度为L，电阻不计，绕o点在垂直于匀强磁场B的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。

解法一：假想电路法

假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2所示），利用法拉第电磁感应定律公式求解。此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R组成了一个闭合回路，经过时间△t，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：

由楞次定律可知，闭合电路的磁通量在增大，感应电流的磁场应垂直纸面向外。如果形成感应电流，则方向由o→a，故电动势的方向o→a，a点电势高于o点电势，a点相当于电源的正极。

解法二：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv求解。

由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o点的距离。o点速度为零，a点速度最大，为ωl，则整个杆的平均速度为2ωl，相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势

由右手定则可以判断电动势的方向为o→a，a点的电势高于o点的电势，即a点相当于电源的正极。

由于解法二比较简洁，故以下拓展在不涉及能量转化问题时

均用解法二。

拓展一：固定点不在棒的一个端点

1．固定点在棒的中点

例1：其他条件同题根，固定点在棒的中点，如图3所示，求Uoa与Uab。

解析：由题根解析可知，oa段产生的电动势大小为：由于a点电势高于o点电势，则

同理，ob段产生的电动势大小为：，而b点电势高于o点电势，则即ab两点是等势点。

2．固定点既不在两端点，也不在中点。

例2：其他条件同题根，固定点o离棒的端点b的距离为，

如图4所示，求U_ab。

点评：固定点o可以在金属棒上任意位置，求解方法相似，要特别注意求解过程中各点电势的高低与电势差的正负。

拓展二：存在供电电路

例3：金属棒长为l，电阻为r，绕o点以角速度ω做匀速圆周运动，a点与金属圆环光滑接触，如图5所示，图中定值电阻的阻值为R，圆环电阻不计，求Uoa。

解析：图中装置对应的等效电路如图6所示。由题根可知，oa切割磁感线产生的电动势为：，注意，由于棒有内阻。由全电路欧姆定律：（因为a点电势高于o电势）。

点评：①见到这些非常规电路画等效电路是很必要也很有效的方法。②之所以题目设计为求Uoa，是为了体现求解电势差的注意点。

延伸：例4：棒的中点与圆环接触，其他条件同例3，如图7所示，求Uoa。

解析：设接触点为b点，ob端切割磁感线的电动势为：

ba端也在切割磁感线，ba之间也存在电势差，ba段切割磁感线的平均速度相当于其中点的瞬时速度，则ba段产生的电动势为：，a点电势高于b点电势

点评：求U_ab时，切忌死套公式，如果直接死套公式得那就错了，因为ab段并不是绕b点转动，而是绕o点转动，不满足直接代公式的条件，要具体求棒ab段的平均速度。故学习物理知识要理解实质，具体问题具体分析，随机应变，不能死记公式，生搬硬套。

拓展三：磁场不是普通的匀强磁场

磁场的空间分布是匀强磁场，但磁场强弱、方向随时间作周期性变化。

例5：其他条件同例3，空间存在的匀强磁场随时间作周期性变化，B=B0sinAt，其中A为正的常数，以垂直纸面向里为正方向，求Uoa。

解析：由于B变化，棒oa切割磁感线产生的电动势不再是恒定值，而是随时间作周期性变化的交变值，由题根可知：

此电势差也随时间作周期性变化。

点评：①以上三个拓展都是导体棒绕固定点转动时求解相关电动势和电势差的问题，当然也可以设计其他问题，只要电动势问题解决，其他问题也会迎刃而解，因为电动势是解题的基础。②当涉及到交变电流产生时，求解发热问题要注意使用有效值，正弦式交流电可由最大值直接利用关系求有效值。③拓展三里的磁场还可能随空间变化，也有可能产生交流电，如后面拓展。

拓展四：有机械能参与的能量转化问题

例6：如图8所示，一金属圆环和一根金属辐条构成的轮子，可绕垂直于圆环平面的水平轴自由转动，金属环与辐条的电阻不计，质量忽略，辐条长度为L0，轮子处在与之垂直的磁感应强度为B匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，一阻值为R的定值电阻通过导线与轮子的中心和边缘相连，轮子外缘同时有绝缘绳绕着，细绳下端挂着质量为m的重物，求重物下落的稳定速度。

解析：此题中由于重物下落，带动圆轮转动，辐条oa做切割磁感线运动产生电动势，oa相当于电源，与电阻R构成闭合电路，a端为正极，o端为负极，如图9所示。由于oa边受到的

安培力阻碍圆环转动，并且随着转速逐渐增大，安培力也逐渐增大，最终达到一稳定速度，解此速度可用两种方法解，一种是根据力矩平衡解，另一种根据能量守恒解。

点评：在处理伴有能量转化的物理问题时，解题方法通常不唯一，可以从纯力学角度下手，也可以利用能量守恒，很显然，利用能量关系解题往往较简捷，故下面的关于能量拓展系列都用此法解。

变式（1）：如果原题中的辐条有电阻，且电阻r，求最终系统平衡的速度。

解析：如果辐条有电阻，则方法二中的能量关系方程应为：

变式（2）：如果把原题中的辐条由一根变成四根，如图10所示，且相邻两根辐条的夹角是90°，辐条电阻不计，求重物最终下落的稳定速度。

解析：由一根辐条变成四根辐条，则当圆环转动时相当于产生了四个电源，且四个电源是并联关系，总电动势还是等于每个辐条产生的电动势，由于电阻不计，故用能量守恒方法解的能量守恒方程依然是：，最终速度还是：

变式（3）：如果把变式（2）中的四根辐条变成一金属圆盘，且不计金属圆盘内阻，求重物最终下落的稳定速度，如图

11所示：

解析：金属圆盘可看作是无数根金属辐条并联而成，此时圆盘转动产生的总电动势依然等于每根辐条产生的电动势：

。最终速度也是：形式虽然变了，本质依然没变。

变式（4）：如果变式（2）中的四根辐条的电阻都是r，则重物下落的最终稳定速度为多少？解析：当四根辐条都有电阻时，且是并联关系，并联后总电阻为，电动势还是，则利用能量守恒求最终速度的方程变为：

变式（5）：在变式（4）的情况下，去掉定值电阻R，环的电阻不可忽略，大小为R，且改变圆环右半边所在区域磁场的方向，如图12所示，磁感应强度的大小都是B，MN左侧磁场垂直纸面向里，MN右侧磁场垂直纸面向外，求重物最终下落的稳定速度。

点评：变式（5）中由导体棒自身形成回路的这种情况，在解题时要仔细分析，不然会出现解题错误，甚至无法下手解题。以上是导体在磁场中绕固定点转动问题的归类研究，希望同仁们能体会到在教学过程中知识迁移的重要性，从而学会总结与归纳，提高教学效率。