明数学思维之道，建系统思维框架

明数学思维之道，建系统思维框架

徐云霄

浙江省杭州市萧山区第二高级中学311251

高中数学题型众多，不少教师采用“题海”战，试图通过让学生接触各类题目来提高解综合题的能力。然而事与愿违，“题海”只能让学生的思维更加混乱。主因是综合能力弱的学生不善于总结数学思维规律，他们不明数学思维之道，思考时不会从整体去分析，缺乏系统化思维，无法化难为易。同时，思维混乱也导致知识的贮存零乱不堪，运用时提取不了。

一、系统思维的涵义

系统是一个概念，反映了人们对事物的一种认识论，系统是由两个以上的元素相结合的有机整体。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系、相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维是以系统论为思维基本模式的思维形态，它不同于创造思维或形象思维等本能思维形态，它是一种逻辑抽象能力，可统称为全局观。系统思维能极大地简化人们对事物的认知，给我们带来整体观。

系统思维方式，主要以整体性、结构性、立体性、动态性、综合性等特点见长。系统思维的整体性是把研究对象作为系统来认识；同时，还要把整体作为认识的出发点和归宿。系统思维的结构性是把系统科学的结构理论作为思维方式的指导，强调从系统的结构去认识系统的整体功能，并从中寻找系统最优结构，进而获得最佳系统功能。系统思维作为一种普遍思维方式是迄今为止人类所掌握的最高级思维模式。

二、数学系统思维框架的构建

关于系统思维，在一些科技领域（如医学）早已有比较深入的研究，但在数学教学中相关的论述很少。高中数学题千变万化，能否帮助学生形成一套具有整体性的思维框架体系？其实，高中数学各章都有其完整的知识结构与思维规律，章节间有相互联系，很多问题具有共同的思维规律。如果我们帮助学生理清各章知识结构、思维规律，并形成一条完整的、立体的思维链，学生解综合题时，就不会再茫然无措。

1.重视章节结构教学，构建章节思维框架

构建数学系统思维框架，首先要让学生对所学各章知识方法形成系统框架。美国教育家布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓学科的基本结构，是指该学科的基本概念、基本原理及其相互之间的联系。让学生理解知识的整体性与事物间的普遍联系，而非孤立的事实本身和零碎的知识结论。他认为，这种基本结构应该成为教学过程的核心。掌握了学科知识的基本结构，就能把握知识体系的核心与关键，就可以宏观地理解学科知识，避免“只见树木不见森林”。

以解析几何为例，系统思维框架为：

（1）研究思想：通过对平面图形建系，将几何问题转化为代数计算；主要研究的是通过建系求曲线方程，再通过方程研究曲线的几何性质，在研究性质时，需运用数形结合思想。

（2）知识体系（限于篇幅不加展开，下同）

(3)块状知识体系（典型问题）

（4）方法体系：如待定系数法、消元术、数形结合等。

（5）纵向体系：如求最值或范围时，需数形结合及函数方程思想等。

此外，要重视章头与章尾课教学。在章头课要让学生了解解析几何与平面几何在研究几何问题方法上的差别与联系，对本章思维方法有一个明确的认识。在章尾课则要帮助学生理清本章的知识结构、方法结构、纵向联系及思维规律，与章头课前后呼应，加深理解，形成体系，这是系统思维构建的基本框架。

2.重视思想方法训练，学会整体分析

（1）培养目标意识，提高审题能力。

如何解综合题？波利亚在他的“怎样解题表”中将数学题目的解决分为4个步骤，即弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。弄清问题就是审题过程。审题是开启思维的第一步。审题过程有没有规律性？我们常看到，很多学生在解题中思维混乱，或计算中盲目变形，导致思路不通，其原因是目标意识差引起的。因为目标意识差，他们常常不顾问题的目标需要，就试图套用老师讲过的方法机械模仿，当问题发生变化时就无所适从。

如何明确解题目标？一般来说，审题时先要弄清题目有哪些已知条件，得出结论需要哪些条件，这些使结论成立的条件是否具备，等等。这种方法，就是分析综合法，这是一种重要的逻辑推理方法。它从一开始就重点关注达成目标所需的条件是否具备，使解题思维每一步都朝着目标努力，从而把控总方向。运用这种方法思考，既能使解题过程有明确的目标，又能迅速确定并缩小探索范围，同时探索方向能得到不断调控。分析综合法，可促进目标意识的形成。培养目标意识是形成系统思维框架的重要组成部分。

（2）倡导多角度思考，提高分析问题能力。

在解题过程中，光会分析综合法是不够的，常需多角度思考问题。走入困境时换个角度思考，可能会“柳暗花明又一村”。多角度思考是数学思维链上的“脑筋急转弯”。将问题等价转化是多角度思考的常用方式。等价转化包括数形转化、化未知为已知、化繁为简、化空间为平面等。逆向思考是多角度思考的另一种思维方式，逆推、正难则反、举反例都是典型的逆向思维形式。一些学生解题时常凭直觉，但学生的直觉有很多想当然的东西。当直觉错误时，他们很难从中走出来，这时如果教师让学生去反证或举反例，他们就会恍然大悟。

（3）提倡“块状思维”，学会整体分析。

思维的整体性，是系统思维的主要特征。构建系统思维，就要让学生在解题过程中学会整体分析。整体分析的关键是如何抓住要点。在解题中不应过早盯住某个局部条件或结论，而要放眼整体，从全局出发，否则会陷入困境。直觉思维的基本特征之一就是从整体去把握研究内容与方向，寻找问题的内在规律，从整体结构上进行调节和转化，摆脱解题常规和思维定势的束缚，从而对问题做出迅速、准确的直觉判断。“块状思维”是形成整体分析的前提条件，“块状思维”能启发学生直觉判断，可简缩逻辑过程。整体分析能培养学生透视问题实质和快速反应的直觉能力，从而形成直觉引路、逻辑分析铺路的良好思维习惯。常见的“恒成立问题”，就是“块状思维”，或者说是“块状知识”。优秀学生脑中除了基本概念外，积累了很多“块状知识”，所以在解题时“题感”好，容易找到“切入点”。

如果说“块状知识”是数学思维链上的“元件”，那么数学思想方法与策略则是思维链上的“导线”，它是问题探索过程中的指路明灯。掌握了数学思想方法，才能使学生把学得的内容迁移到新的情境中去，才能学会整体分析。这是学会数学思考的关键。数学思想方法并非专属某一章节，需要长期有计划地进行强化训练，否则学生难以掌握。

3.狠抓题后反思，构建系统思维链

题后反思是构建系统思维的必要过程。题后反思，是让学生追忆思维过程并记录，反思解题思路、解题方法、解题规律这些“宝物”，否则就像入宝山空手而归。题后反思尤其要重视通性通法的概括。通性通法是指解题时最自然、最易想到的一些解题思路。做好题后反思，需要教师在教学中狠抓落实，督促指导，这是学习活动中的一项重要任务。

完善知识及思维方法结构并形成系统思维链，对学生来说不是一件容易的事，尤其是思维规律的归纳，其原因是这种思维链常是多线条、动态的，有时需要并联，有时需要串联，学生难以理清，教师要舍得花时间帮助学生完成。章建跃博士在《数学教育之取势明道优术》一文中指出，“教好数学”的内涵应该是“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，最终使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”。明数学思维之道，建系统思维框架，是为了让学生学会思考，最终使学生会用数学的眼光看世界。

参考文献

[1]章建跃陈向兰数学教育之取势明道优术[J].数学通报，2014，10。

[2]罗增儒中学数学解题的理论与实践[M].南宁，广西教育出版社，2008。