乘法算式中的“ ABBA→BAAB”优化组数模型

乘法算式中的“ ABBA→BAAB”优化组数模型

施继果

云南省昆明市宜良县清远小学 云南 昆明 652100

【摘要】：解决“组成三位数乘两位数的乘法算式中乘积最大”的这种问题，常规的解题策略是通过排列组合一一列举出所有的乘法算式，然后计算出结果，对比结果找出乘积最大的。这种解题策略组成三位数乘两位数的乘法算式共有72个，写出这些算式由于量太大，很容易重复或者遗漏，不便于操作。而且还要进行大量的计算得出结果，在操作上费时费力。因此我就思考，要是能建立一种简单优化的数学模型解决这种问题，这样不仅可以节省时间，还可以提高解决问题的效率。于是我通过优化组合得出乘积最大的算式，从结论入手，通过大量的数据验证，最终我采用数学不完全归纳法建立了“ABBA→BAAB”这一乘法算式乘积最大的组数模型。对于其它与之相似的问题，只需要把这一模型稍微改进利用即可。下面我结合实际问题对“ABBA→BAAB”这一模型进行解释应用。

【关键词】：“ABBA→BAAB”组数模型 优化 乘积最大

【问题】：

人教版小学数学上册第50页第12*题：用0,2,3,4,5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出乘积最大的算式吗？

【分析】：

本题是综合应用乘法的开放型练习。组成三位数乘两位数的乘法算式共有72个，那究竟哪个是乘积最大的算式呢？我们不妨引导学生有序的进行排列，然后优中选优。要使得乘积最大，就是让计数单位尽可能的多，下面我们就按计数单位多优先的原则，有序的排列列举出三位数乘两位数中乘积尽可能大的算式：

543×20=10860 542×30=16260 540×32=17280

534×20=10680 532×40=21280 530×42=22260

524×30=15720 523×40=20920 520×43=22360

504×32=16128 503×42=21126 502×43=21586

【优化】：

通过对比我们发现：所有的组成三位数乘两位数的乘法算式中乘积最大的是520×43=22360，

根据积不变的规律可以写成：

520×43=（520÷10）×（43×10）=52×430=22360

因此可得乘积最大的算式可以是：52×430

【建模】：

把0,2,3,4,5这五个数字按计数单位的多少排列起来：5,4,3,2,0。

按照两人（A和B）轮换排列，从哪里开始回到哪里去的原则,也就是第一个轮回：从A开始到B,再由B开始回到A；为了公平实施第二个轮回：从B开始到A,再由A开始回到B。即按照“ABBA→BAAB”的原则编号：

5→A,4→B,3→B,2→A；0→B。

观察对比三位数乘两位数乘法算式中乘积最大的算式：52×430

我们发现因数52（5→A，2→A）与因数430（4→B,3→B,0→B）的组合正好满足“ABBA→BAAB”的原则，即：（5→A,2→A）×（4→B,3→B,0→B，）=（AA）×（BBB）=52×430。

综上所述：用几个数组成三位数乘两位数的乘法算式中乘积最大的算式，我们可以用“ABBA→BAAB”的组数原则。即：把这几个数字按计数单位的多少排列起来，按照（A和B）轮换排列，从哪里开始回到哪里去，保证公平实施两个轮回的排列。第一个轮回（ABBA）：从A开始到B,再由B开始回到A；第二个轮回（BAAB）：从B开始到A,再由A开始回到B。如果是用多个数组成多位数乘多位数的乘法算式中乘积最大的算式同样适用，只要按照“ABBA→BAAB”的组数原则依次不断重复下去，直到组成所需位数的数为止即可。

【拓展】：

人教版云南省标准教辅《同步指导训练与检测》第45页数学小博士（选做题）第2题：把2,3,4,6,7,8这六个数字填写在下面的括号里，要使乘积最大，应该怎样填？（每个数字只能用一次）

（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ）（ ）

分析与解答：

把2,3,4,6,7,8这六个数字按计数单位的多少排列起来：8,7,6,4,3,2。

按照“ABBA→BAAB”的原则编号：

8→A,7→B,6→B,4→A；3→B，2→A。

把三位数乘三位数乘法算式中乘积最大的算式对应位置排列：

（8→A,4→A，2→A,）×（7→B,6→B,3→B，）=（AAA）×（BBB）=842×763

从而得出问题的答案：

（8）（4）（2）×（7）（6）（3）

主要参考文献：

[1]义务教育教科书教师教学用书数学四年级上册.人民教育出版社，2014.10

[2]义务教育数学课程标准(2011版)[M].京:北京师范大学出版社，2012.1.