似而不是 寻根索源 辟出蹊径 —极坐标系与参数方程中的距离问题

似而不是 寻根索源 辟出蹊径 —极坐标系与参数方程中的距离问题

孙艳娟

山西省沁县中学 山西沁县 046400

众所周知，高中数学是培养学生素质的基本课程，而教材又是学好这门课程的基础，它涵盖了高中三年数学的所有基本知识，基本方法与基本技能。而对于高考，教材更是其命题的源头，源于教材高于教材的命题原则是一个不变的旋律。从过去的高考卷以及高考模拟卷我们可以发现许多试题的源头来自于同一知识点和方法点，也有许多题目相似但是源头不同，方法也相差甚远，而教材恰恰为我们提供了很多规范和具有发展功能的典型习题。那么，面对高考中出现的形形色色的题，我们只需用智慧去辨析，究其根本，索其源头，与教材经典习题比较研究，找到知识之间的内在联系与细微差别，这样，解题思路才会顺其自然的出现，难题也会不攻自破。因此，在高三复习阶段，抓住这一点尤为重要。

新课标卷的选做题22题考查的是极坐标系与参数方程的内容，对历年试题进行研究后，不难发现，这个题中考查距离的问题居多，有求距离的，有求距离之和之积的，还有求距离平方和，距离平方和的倒数之和等等；然而回归课本，我们可知，在极坐标与参数方程这部分内容中，表示距离的量只有极径 与直线参数方程中的t。而同是表示距离的量，何时用前者解，何时用后者才突破呢？下面的两个例题，形似而源不同，由于源头不同，所以解题的捷径也大相径庭。

例题1：已知曲线C₁的参数方程是 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 。

（1）写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；

（2）已知点M₁，M₂的极坐标为（1, ）和（2,0），直线M₁M₂与曲线C₂相交于P,Q两点，射线OP与曲线C₁相交于点A，射线OQ与曲线C₁相交于点B，求 的值。

解析（1）由曲线C₁的参数方程是 ，消去参数 可以得到C₁的普通方程为 ，

将 代入上式，得椭圆的极坐标方程为 ，即： 。

由曲线C₂的极坐标方程为 ，两边同乘以 可以得， ，把 代入得到C₂的直角坐标方程为 。

（2）由题意知，A，B两点在椭圆C₁上，所以设A（ ），B ，

则 所以 ，

又因为：

，

即：

， ，

所以：

由题知 ，因此_，所以_，，

所以：

即：_。

_{点评：对于本题，（2）问不用整体代换，而按照联立圆与直线的极坐标方程求得它们交点所对应的极坐标代入求解也可得解，然而，由于交点的极角并不是特殊角，所以解题过程中运算量较大，运算技巧性强，而且那样做卫重分发挥极坐标方程的强大功能，故而不推荐，那么，有的同学会问，是怎样想到的这种解法呢？}

_{事实上，对其进行索源，可以发现它源于课本中的一个习题。}

_{选修4-4第十五页习题6：}

_{已知椭圆的中心为O，长轴长，短轴长分别为2a，2b，（a>b>0），A,B分别为椭圆上的两点，且OA垂直于OB。}

_{求证：为定值。}

_{两个题目进行比较，可以发现，其实，例题与课本习题是同一个题，只是例题比课本习题多了绕了一个圆，其根本是一样的。因此，做这个题就可以选择用极径的几何意义，利用两极角之间的关系，用课本习题的整体代换的方法求解，快捷方便。通过对比与研究，我们发掘出了题的本质，同时也得到了解决此类问题的一般解法。}

_{例题2：在平面直角坐标系xoy中，已知点M的坐标是（2,0）， 曲线C的参数方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。}

_{（1）求l的直角坐标方程和曲线C的普通方程。}

_{（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求。}

_{解析：（1）由直线l的极坐标方程为，}

_得：

_即：

_{所以;l的直角坐标方程为即：。}

_{因为曲线C的参数方程为，}

_{消去参数t得曲线C的普通方程为。}

_{由l的直角坐标方程可以得到，M（2,0）在l上，}

_{所以l的过点M的标准参数方程为，}

_{把l的标准参数方程中的x，y代入曲线C的一般方程得：，化简得关于t的一元二次方程得：}

_{因为点M在曲线C的内部，所以这个方程必有两个实根t1，t2，且由韦达定理可得：，t1t2=-16,}

_{又由t的几何意义可知：|MA|=|t1|，|MA|=|t2|，所以}

_因此，

_。

_{点评：本题也是一个求解距离平方倒数之和的问题，与例1极为相似，但是，做这个题却选择的是用t的几何意义来求。}

_{而究其源头，它源于选修4-4课本三十六页的例1与三十七页的例2。}

_{课本例1：已知直线l：x+y-1=0,与抛物线y=x2,交于A,B两点，求线段AB的长和点M（-1,2）到A,B两点的距离之积。}

_{课本例2：经过点M（2,1）作直线l，交椭圆于A,B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程。}

_{本例是课本例1,2 的变式，都是用t的几何意义来解题，它们的根本在于直线不过原点，且都过定点，所求的距离都是定点到交点的距离的问题，这正是与t的几何意义相吻合。而与例1的区别在于例1所求的距离是交点与坐标原点的距离问题，而极径恰恰表示的是点到极点的距离，所以它用的是极径来解更为简单便捷。}

_{三年的高中学习，最终，都要面对高考，面对高考复杂而多变的题型，在高三复习时，我们总是要面对做不完的，堆积如山是试卷，我们怎样才能使学生的复习达到事半功倍的成绩呢？追本索源，发掘其根本，理解知识的来龙去脉，把机械的做题变成一种有智慧的联系变式索源总结，就会收获最大的成果。}