《解二元一次方程组》教学设计

《解二元一次方程组》教学设计

刘淑芳

山西省大同市云冈区实验中学 037001

资源与建议：

二元一次方程组为现实生活中涉及多个未知数的问题建立了数学模型，是一元一次方程的再发展，它对解含有多个未知数的问题很有效，通过学习不但可以进一步了解一元问题，而且可以提高对多元的认识.

消元——是“二元一次方程组的解法”的核心，本节课是继七年级上学习了一元一次方程后，七下学习了一元二次方程（组）及解，和运用“代入”消元法和“加减”消元法解方程组之后的一节课，意在加深体会两种方法的解题思路-----转化为一元一次方程，并根据不同的题目灵活运用消元思想.

本节课我们以鸡兔同笼问题为情境引入，感受数学中蕴含的文化，以问题情境----问题解决----巩固练习------归纳总结-----变式训练-----拓展延伸，为主线展开教学.

教学目标

通过阅读材料关注数学文化，传承科学文明.

感受含有多个未知数的数学模型，体会方程是刻画现实世界的工具，利用所学解决鸡兔同笼问题。

通过所给的二元一次方程组，经历观察、分析选择一种简单的方法（代入或加减消元）解方程组。培养学生的分析运用能力。

根据不同的实际，灵活运用消元思想，掌握不同方程组的解法。体会转化和整体的数学思想。

教学重难点

教学重点：能根据方程特点，选择恰当的方法解二元一次方程组

教学难点：灵活运用消元法解二元一次方程组

教学过程：

环节一：导入新课

阅读资料：

中国有五千年的文明，在这个过程中，不光留下了四书五经等儒学经典，唐诗宋词等文学作品，也留下过许多数学和科学的著作。例如汉朝时成书的著作《九章算术》，总结了自秦代以来中国的数学成就，收录了246个数学问题，涵盖图形、比例等内容，并提出了方程组和勾股定理的思想。魏晋时期的数学家刘徽的著作《九章算术注》弥补了《九章算术》缺少定义和证明的缺陷，又将中国数学向前推进了一大步。

南 北朝时期，中国又出现了另一部数学著作《孙子算经》，在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响，比如传播到日本，就称为“龟鹤算”。现在，鸡兔同笼也收录在我国的小学课本中。

鸡兔同笼问题的原文是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”

意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？

在现代数学中，方程法是解决这种问题的利器。其实，在《九章算术》中就提出了“方程”的概念。只是，中国古代对于方程尤其是高次方程的解法还停留在数值解阶段，没有给出通用的解析解。

如果我们用方程法解决鸡兔同笼问题，整个解法就变得非常傻瓜化了。大家试试。

设计意图：着手培养学生阅读的习惯和对数学文化的关注，把握课标要求，以学生熟悉的“鸡兔同笼”情境入手引入教学，激发情趣，使学生易于进入学习情境，参与到学习活动中，提高学生应用数学知识解决问题的意识。

环节二：解决问题，对比两种消元法的不同

请同学们利用二元一次方程组的知识解决一下这个问题。

（学生独立列方程组解决问题，完成后小组内互相参考答案，欣赏不同。对个别有问题的互相启发统计分析原因。）

设计意图：从讨论解方程组的需要出发，引导学生再次体会基本解法是消元法即把某个等式中的x或y消掉，求出另一个量来。

分析：我们设鸡有x只，兔子有y只，据题意列方程组：

思
路1：先把方程②化为x+2y=48③,利用③-①得y=13

思路2：直接把①变为x= 或y=，体会消x和消y。

思路3：①×2或①×4－②，利用加减消元法。

变式一：如果我们把“鸡兔同笼”问题改编一下：说笼子里有鸡（雉）和兔子在一起，从上面数鸡的数量比兔的2倍少4只，下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡？多少只兔子？

（学生自己列出方程，并试着解答，完成后小组内互相参考答案，答疑解惑，找代表回答检验效果。）

分析：我们仍设鸡有x只，兔子有y只，据
题意列出方程组：

问题：　用加减消元法还是代入消元法或是还有什么方法？试试其它方法。

（学生试着两种方法解方程，感受不同。然后组内合作交流体会不同的解题方法适合的方程特点，找出它们的共性，小组代表回答。）

思路1、由①得， ，代入②

思路2、由①得， ，代入②

思路3、先把方程②化为x+2y=48③,利用③+①得y=13

总结：（消元思想）

1、方程组中有一个未知数的系数为负1或一时，解方程组时用代入消元法，比较简单。

2、方程组的两个方程中，某个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减即可消去这个未知数。

设计意图：尝试分析问题、归纳总结、提炼解题思路。如对于代入法和加减法的选择，让学生对同一方程组分别用两种方法进行解决，

对比两种消元解方程组的常用方法，

体会根据方程特点选择适当方法的必要性。

巩固练习

1、解方程组

2、一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装120瓶，4大盒、3小盒共132装瓶。1个大盒和1个小盒共装多少瓶？

环节三：变式提升，体会整体思想

变式二：在“鸡兔同笼”问题上，我们又抓走一只鸡，抓进一只兔，腿就成了96条，问原来有多少只鸡多少只兔？

学生可小组交流集体列出方程组，并独立解方程组，然后交流互相学习。

设计意图：体验数学学习的乐趣，在探索中品尝成功的喜悦，树立学习的信心。

分析：我们设原来鸡有x只，兔子有y只，据题意列出方程组：

思路1、去括号，整理得， 然后用代入消元或加减消元解

思 路2、把 看作一个整体，或用换元法设

得 ， 最后解得

跟踪练习：独立解决

总结：遇到不规则的方程组一般可以通过去分母、去括号等化简整理得到标准形式，再解答，但对于次方程组用整体思想也很好。

环节四：通过解决不同的问题，体会消元的灵活性

（

学生组内交流给出两个方程的解法思路，之后独立解决。）

解法参考：1、 化简得 可用代入消元法也可用加减消元法

2、 化简得 利用整体思想。

总结：对于复杂的方程组，可考虑整体思想或应先将方程组化简（如去分母、去括号或系数化整等）后再解。

设计意图：加强学生间的交流合作，注重小组合作、交流，互相学习、启发，感受集体的智慧。以欣赏、理解、期待、关注的眼光寻找他们身上的闪光点，发挥评价激励功能 。同时调动学生自评、互评的积极性，给予他们机会，从而在更高层面上提升学生渴求进步、崇尚完美的品质。

环节五：课堂小结及作业

代入消元法和加减消元法分别在什么情况下用。

体会消元法和转化的数学思想。

你还有什么收获？

作业：略

板书：略