《一元二次不等式及其解法》教学设计和教学反思

《一元二次不等式及其解法》教学设计和教学反思

杨大平

湖北省宜都市第二中学，湖北 宜昌 443311

摘要：高中数学的教学，我认为摆在数学教师面前的任务是在课前如何“处理教学内容、进行教学设计”、课堂如何“组织教学过程、与学生共同寻找答案”，课后如何“组织学生巩固知识，教师进行自我反省” ，另外，本人站在学生对于“数学基本活动经验获得的基本过程和水平层次”这一角度上，想作一些实践和探讨。本文结合一元二次不等式及其解法的课例的设计和反思谈一点自己的想法。

关键词:要求；分析；设计与实施；反思

一、本节内容的要求

1.教学课时：1课时；

2.课程目标：掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些问题；

3.教学目标：

（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系；

（3）会解一元二次不等式。

以上三个教学“指标”涉及数形结合、分类讨论。把方程、不等式的求解纳入函数系统中去讨论，把“等与不等”，“定形与定量”，“数与形”等的矛盾体统一在具体问题中去研究，作为教师，我们应站在联系的高度来分析，因为教学本身就是一个联系的、统一的整体。

二、本节内容的分析

理解和运用三个二次的关系，使学生理解和掌握一元二次不等式的解法；

1.探寻对应二次方程根的分布状况，若有解，写出一元二次不等式的解；

2.利用二次函数跟的分布状况，画出对应二次函数的图像；

3.用二次函数的图象与x轴的位置关系（相交，相切，相离），得到一元二次不等式的解集；

4.等于与不等的相互转化，解一元二次不等式体现的算法

（1）把二次项系数化为正数；（2）解方程 （3）根据方程的根写出一元二次不等式的解集（在解题过程中要注意同解变形）

【教学重点】会解一元二次不等式。

【教学难点】通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系

分析教材、处理教材是教师的基本功，如果教师在教学设计中缺乏“浅入深出”的分析能力和“深入浅出”的整合能力，就不能明确哪些内容可以成为学生构建新知识结构的基础，哪些内容是需要新输入的知识，它们之间是如何相互作用的，关键在哪里等等；如果教师在教学设计中缺乏“俯视”教材的“透视”能力，在课堂教学中就会缺少“为什么要学习”“怎样进行学习”的自觉指导能力。

三、本节的教学设计与实施

第一课时 一元二次不等式的解法

知识目标：

1.清楚一元二次不等式的一般形式，知道一元二次不等式、一元二次方程、二次函数一般形式的区别和联系；

2.了解一元二次不等式的几何解法（图象法）；

3.掌握一元二次不等式的代数解法，会根据判别式判断一元二次方程根的情况，能熟练写出一元二次不等式的解集。

能力目标：

1.数与形的转换能力（用方程的解写出不等式的解集，大脑中呈现相应二次函数的图象）；

2.正确运算的能力（十字相乘法或公式法求二次方程的根）

教学重点：一元二次不等式的解法

教学难点：

1.一元二次不等式与相应的一元二次方程及二次函数的联系；

2.一元二次不等式的解法.

教学过程：

（一）创设情境，引入课题

学校要在长为8m，宽为6m的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪，为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半，此时花卉带的宽度的取值范围是什么？

通过实际问题，让学生感知数学问题与实际生活的联系，产生数学经验萌芽。

（二）一元二次不等式解集的发现

1、针对提出的实际问题，引导学生分析题意，列出对应的数学表达式（师生共同完成）

2、观察数学表达式的特征，结合教材，给出相关概念

知识巩固：给出不同形式的不等式类型，通过学生辨析，深入对一元二次不等式概念的掌握（师生共同完成）

3、回到当前实际问题所对应的一元二次不等式，引导学生得到不等式的解集

（重点借助三个二次之间的关系，如何得到一元二次不等式的解集）

思维爬坡1：对应一元二次方程的根是什么，如何判断？（学生发现）

思维爬坡2：问题1中的根是二次函数的什么，作出二次函数的图像。（学生发现）

思维爬坡3： 观察二次函数的图像，x取什么值的时候，图像在x轴的上方或者下方？如何与不等式对应？（师生共同完成）

思维爬坡4：根据图像如何如何写出x的取值范围？不等式的解集（学生发现）

给出一元二次不等式解题步骤和标准格式

4、完成教材中的表格

这一过程通过对具体问题的解剖，解决一元二次不等式的过程与方法，让学生基本了解一元二次不等式的特点和基本解题思路，进入经验明晰阶段。

（三）一元二次不等式的案例分析及练习

（学生小组合作完成，并由学生代表讲解，学生质问，教师点评）

注意引导学生解决几个问题：

1、当一元二次不等式的二次项系数小于零，如何求解？

2、对于一般的一元二次不等式的解法，我们应如何解答（体现规范解题思路）？

这一过程通过大量的练习和学生对于各种复杂问题的处理过程、分析和总结，熟练掌握一元二次不等式问题的解法，形成概括性经验，进入经验抽象性阶段。

（四）、拓展习题分析解答

给出问题：关于x的不等式（a²-1）x²-(a-1)x-1<0恒成立，求实数a的取值范围。

学生思考并回答，教师点评。

注意的几个问题：

1、分类讨论思想在解题中的运用；

2、引导学生归纳关于一元二次不等式恒成立问题的解题思路方法。

这一过程是在学生熟练掌握一元二次不等式解题特点的基础上，对于与一元二次不等式相关的数学问题，让学生能自己发现规律，能够运用自己掌握的相关知识进行解决并拓展，形成自己的经验和方法，达到经验重构性阶段。

四、本节的教学反思

1.教师要尽力站在编者的角度“用好教材”

在教学中教材是最有效的课程资源，是课程标准的直接体现，是编者领悟课程标准之后的智慧结晶.本节内容的编排意图：通过二次函数的图象理解一元二次不等式的解法；一元二次不等式的解法是本节内容的一个难点，所以本节课的教学内容首先做好第一个处理：一元二次不等式的解法作为第一个课时进行教学，让学生能熟练解一元二次不等式；

2.教师要置身于学生的角度多问几个为什么

就本节内容而言，建模、利用十字相乘法解一元二次方程、二次函数图象与x轴的位置关系、函数值 函数图象位于x轴上方（下方）、 时，一元二次不等式 ）的解法等问题的理解，都有可能成为不同层次学生学习的难点. 因此，教师在教学中多站在学生的角度去挖掘一些细小的问题，让学生感受这些问题背后蕴藏的数学思想、方法，于细微处求发展，这才是学生主体性发挥的一个真正体现。

3.数学案例设计应体现数学基本活动经验的基本过程与水平层次

3.1 经验萌芽阶段

通过具体实际问题出发，让学生在参与过程中，通过观察、联想、尝试，唤醒已有的相关经验，发现提出问题与所学过知识的联系，产生初步解题认识。

3.2 经验明晰阶段

通过教师对基本解题思路和方法的引导，利用三个“二次”之间的关系，让学生零散、模糊的知识变得明晰，形成新的认知，初步掌握一元二次不等式的节本解法。

3.3 经验抽象阶段

通过各种不同类型的一元二次不等式练习，让学生在大量实践中不断整理，不断总结，让解决问题的层次从表象到本质，形成比较稳定的解法思路，成为自己的解题经验。

3.4 经验重构阶段

学生基本的解题经验形成以后，通过对于类型不同，本质相同的一元二次不等式恒成立问题，让学生自我分析和解答，从而对所掌握的经验加以灵活运用和升华，让学生对于所学知识的理解层次达到一个新的高度，进行对所学知识的经验重构，达到学生能够自由运用和发挥的自我经验。

参考文献：

《普通高中数学课程标准》

《高中数学核心素养》

《中国高考评价体系说明》 向立政