谈等比数列求和公式的教学顺序

谈等比数列求和公式的教学顺序

洪开科

湖南攸县第一中学 株洲市 412300

摘要：等比数列求和的两个公式，教材先推导无末项的求和公式，再得出有末项的求和公式。我改变了顺序，先是推导有末项的求和公式，再得出无末项的求和公式。从而学生能理解更好，记得更牢，做题成功率更高。

关键词：有末项的求和公式，无末项的求和公式，错位相减法，顺序决定格局，顺序决定效率，顺序决定成败，顺序会造成学生做题的明显差别。

正文

顺序决定方法，顺序决定理解，顺序决定记忆，顺序决定格局，顺序决定效率，顺序决定成败。在象棋、围棋里有两步是接着要走的，但是这两步的顺序变化，可能会引发对方不同的应对策略，从而改变格局，影响胜负与拼杀的时间。等比数列求和的两个公式的教学顺序也是如此。我改变了教材中两个公式教学顺序如下：

∵ S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n ①

∴ qS_n=a₁q+a₂q+a₃q+…+a_n-1q +a_nq ②

又 a_n=a_n-1q，∴①-②可得 (1-q)S_n=a₁-a_nq

当q≠1时，S_n= ，称为有末项的求和公式。

将通项公式a_n=a₁q^n-1代入可得S_n= ，称为无末项的求和公式。

∴ S_n== (q≠1)；当q=1时；S_n=na₁。

而教材是先推导无末项的求和公式，再得出有末项的求和公式。我改变了顺序，一是与等差数列求和公式相对应，先是推导有末项的求和公式，再得出无末项的求和公式。二是体现了对“错位相减法”的理解，是前n项的和S_n的等式两边同乘以公比q，再将两式相减，中间的项错位相消了，剩下一式的首项a₁减去二式末项a_nq。三是能更好的记忆，由有末项的求和公式很容易写出无末项的求和公式，反之把无末项的求和公式放在首位的，往往不记得有末项的求和公式。四是顺序决定格局，顺序决定效率，顺序决定成败。

我有过一个案例，高二分班后，一次考试的选择题：

设f(n)=1+2+2²+2³+…+2²ⁿ(n∈N且n≥3), 则f(n)等于( )

A．2ⁿ-1 B．2ⁿ⁺¹-1 C．2²ⁿ-1 D．2²ⁿ⁺¹-1

考完后我要学生将等比数列的两个求和公式默写交上来。两个班116个学生统计结果为：

一、先写出有末项的求和公式76人全部做对100%；

二、先写出无末项的求和公式再写出有末项的求和公式22人，只10人做对约占45%，另12人由于高一的老师按教材以无末项的求和公式为主，虽然写出有末项的求和公式，但顺序决定了方法，他们还是用无末项的求和公式去算，将项数搞错了；

三、只写出无末项的求和公式而不知有末项的求和公式13人只有3人做对约占23%，另10人做错；

四、写错与不会写的共 5人，猜对1人占20%。

因此改变教材中等比数列两个求和公式的教学顺序，能理解更好，记得更牢，做题成功率更高。特别是知道末项的等比数列求和，如果用有末项的求和公式去算，根本不用考虑项数，犯错的机会都没有，并且速度更快。

例1．2014年江西高考题：

已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}(b_n≠0，n∈N^*)，满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0.

(1)令c_n= ，求数列{c_n}的通项公式.

(2)若b_n=3ⁿ⁺¹，求数列{a_n}的前n项和S_n.

其中(2)等差乘以等比的数列求和，利用错位相减法就是如此。

解析：(1)因为b_n≠0，由a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，得 ，即c_n+1-c_n=2，

所以{c_n}公差为2的等差数列，且首项c₁=2，所以c_n=1+(n-1)×2=2n-1.

(2) 因为a_n=c_nb_n=(2n-1)3ⁿ⁺¹。所以 S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+(2n-1)3ⁿ⁺¹，3S_n=1×3³+3×3⁴+5×3⁵+…+(2n-1)3ⁿ⁺²，相减得：-2S_n=3²+2(3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹)-(2n-1)3ⁿ⁺²

=-18-2(n-1)3ⁿ⁺²， 所以 S_n=9+(n-1)3ⁿ⁺².

例2．2016年山东高考题：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1.

(1)求数列{b_n}的通项公式； (2)令 . 求数列{c_n}的前n项和T_n.

解析：(1) n≥2时，a_n =S_n -S_n-1=6n+5，n=2时，a₁ =S₁=11也满足上式，∴a_n =6n+5.

设{b_n}的公差为d，依题 ， ，解得d=3，b₁ =4，∴b_n =3n+1.

(2) 依题c_n= =3(n+1)·2 ⁿ⁺¹，则T_n=3[2∙2²+3∙2³+4∙2⁴+…+(n+1)∙2ⁿ⁺¹]，

∴2T_n=3[2∙2³+3∙2

⁴+4∙2⁴+…+(n+1)∙2ⁿ⁺²]，相减得，-T_n=3[2∙2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-(n+1)∙2ⁿ⁺²]

= 3[8+ -(n+1)∙2 ⁿ⁺²]=-3n∙2ⁿ⁺²， ∴T_n=3n∙2ⁿ⁺²

例3．2017年天津高考题：

已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n，{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄.

(1)求{a_n}，{b_n}的通项公式; (2)求数列{a_2nb_2n-1}的前n 项和.

解析：(1)依题b₁ =2，2q+2q² =12，即q²+q-6 =0，由q>0解得q=2，∴b_n=2ⁿ

又b₃=a₄-2a₁，∴3d-a₁=8，由S₁₁=11b₄，得a₁+5d =16，

联立3d-a₁=8解得d=3，a₁=1，∴a_n=3n-2.

(2)∵a_2nb_2n-1=(6n-2)·2^2n-1 =(3n-1)·4ⁿ，设T_n=2∙4¹+5∙4²+8∙2³+…+(3n-1)∙4ⁿ，

则4T_n=2∙4²+5∙4³+8∙2⁴+…+(3n-1)∙4ⁿ⁺¹，相减得，-3T_n=8+3(4²+4³+…+4ⁿ)-(3n-1)∙4ⁿ⁺¹，

= 8+3· -(3n-1)∙4ⁿ⁺¹ =-8-(3n-2)∙4ⁿ⁺¹， ∴T_n= [8+(3n-2)∙4ⁿ⁺¹]为所求和.

以上试题如果用无末项的求和公式去算，往往搞错项数，造成结果错误，并且要耽误一定的时间。综上两个公式顺序会造成学生做题的明显差异。

练习：2006 年北京卷高考题

设f(n)=2+2⁴+2⁷+2¹⁰+…+2³ⁿ⁺¹⁰(n∈N),则f(n)等于( )

A． (8ⁿ-1) B． (8ⁿ⁺¹-1) C． (8ⁿ⁺³-1) D． (8ⁿ⁺⁴-1)

解析：这是首项为2，公比为8的等比数列的求和问题，用有末项的求和公式容易求得D。若用无末项的求和公式，首先要求出项数是n+4，再用求和公式。

参考文献：

［1］普通高中课程标准实验教科书　数学　必修5

［2］2014年数学高考真题

［3］2016年数学高考真题

［4］2017年数学高考真题

［5］2006年数学高考真题

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