向量的各种乘积及其分类应用

向量的各种乘积及其分类应用

1 黄燕 2 李东方

1 广州工商学院会计系（广东 佛山 三水 528138） 2 广州工商学院基础教学部（广东 佛山 三水 528138）

摘要：本文详细地介绍和研究证明了函数向量的各种乘积及其分类的基本性质、运算律、几何律的意义以及及其应用,并且有例题为得出的结论做支撑。并且还介绍了数形结合的做题方法和向量与物理学之间的联系。

关键词：向量；数量积； 向量积； 混合积；物理学

一、数量积

已知两个非零向量都是 ,那么 (其中 是向量 的夹角)就叫做向量 的数量积或点积或内积。记作是 。即 。

性质：1.

2. 设 ，则

3.两非零点的向量 相互之间垂直的充分必要性的条件通常是，即

二、向量积

对于向量的叉积,数学中通常又称为向量积、或叉量相积,物理中又称矢积、叉积相乘,是一种在二维向量乘积空间中对于向量的二元乘积运算。与两个向量的数量积不同,它的向量运算所得结果用的是点积向量而不是标准向量。并且两个相同向量的算子向量和之积与这两个算子向量和的积垂直。它的科学应用也十分广泛,通常也被应用于粒子物理学和激光学和其他计算机图形学中。

一个向量的体积温度可以被直接定义形式为:一个模长若共两个起点,(θ用来表示两不同向量之间的温度夹角)(0°≤θ≤180°),它分别位于这两个不同向量所需要定义的一个平面上。)

右手方向:与的左手向量与之积的右手方向与这两个点的向量积之所在点的平面方向是完全垂直的,并且它们遵循与的右手方向法则。 (若我的坐标系设定是完全满足竖起右手转向法则的,当竖起右手的四根食指从指向 以不大于超过180度的方向转角开始转向直到b时,竖起的右手大拇指尖所指向的就是等于m的旋转方向。 )也就是可以这样进行定义:一个向量群的积分{|m|=| |=| || |sinθ},即其中m的平均长度在两个数值上分别等于以两个 为边,θ为边的夹角点所组成的两个平行的正四边形的平均面积。而 与m的旋转方向则是垂直于这由 与 和 的方所相互决定的旋转平面,m的旋转指向按照左右手旋转法则从 与 的方转向 与 的方来加以确定。

向量积几何学的意义及其解释运用

向量积的模，即向量积的平均长度记为| |。我们可以将其解释为构成这两个向量叉积相乘积的向量构成。当 共一个起点时,所得的构成两个平行的正四边形的平均面积。

三、混合三重积

三重混合积,又称之为混合三重积,是三个不同向量面积相乘的一个意思。在三个向量混合空间中,有两种计算方法将三个混合向量空间相乘,得到三个混合的乘积,设其中 等都是向量空间中三个混合向量,则( ) 称为三个混合向量空间 的三个混合的乘积,记作[ ]或( )或( )。

几何意义：三个混合的体积[ ]=( ) 。也可以由此得到以其中 为棱的三个平行六面体的平均体积。即:这是标量三重量乘积的一个绝对值。证明:以面积b和高的c来分别表示底体上面的边,则根据其交叉三重积的绝对定义,底体上面的边与面积高和a角则为,其中的高是面积b与b和c之间的绝对角,而高面的h角则为,其中的高是与a和h之间的绝对角，而一个向量与函数a之间的绝对角则是所有大小可能远远大于90°。也就是说,由于与h和h之间平行,的函数值要么不能等于,要么不能等于。因此,我们得出结论:根据绝对点积的精确定义,它总是等于的一个绝对值。

例1： 设平面向量 .如果向量顺时针旋转30°后与 同向，其中整数i=1,2,3,则下列结论中哪个成立（ ）.

解法1.根据常规本题解法:∵ 故把2 (i=1,2,3)分别按顺时针旋转30°后与 重合，∴ ，故选B

解法2.巧妙运用解法：如果令 ，则 ，由题意得 ，从而排除选项A，C，。巧妙解法就是令 ，从而可以使这个题目更加简单化,也就是可以通过函数画图,利用与函数形式相结合的计算方法等等来进行解题

通过上面我们介绍的向量的三种乘积的定义与基本性质及其几何意义和再实际生活中的一些应用等,我们可以发现一个向量其实是个有着大小和运动方向的不变量。它们也可以直接表示成作为一个带红色箭头的一个线段。 箭头图它所指的也就是一个向量的运动方向;一个线段上的长度它所代表的也就是一个向量的运动大小。 与标准向量式相对应的标准量子式叫做标准数量(在粒子物理学中或简称标准向量),数量(或简称标准向量)只有一个大小,没有任何方向。并且,向量不仅仅与量子数学这一专门学科研究领域密切相关,而且还和粒子物理学和电子工程学领域有关。在粒子物理学和电子工程学中,几何中的向量经常可以被称作几何矢量。通过这些学习我们一定会慢慢发现许多墙体物理学测量都可以是一个矢量。比如一个墙壁物体的横向位移,毽子的头撞上一个墙壁对贴着墙壁物体施加的冲击力等等。与其正矢量之相对的就是一个标准矢量,是一种只有一个大小而已且没有任何方向的正矢量。

些许与定义向量势能相关的概念定义物理性质也和定义物理量的概念之间有密不可分的相互联系。例如定义向量势能可对应于定义物理概念中的向量势能、从定义物理量的角度可以推出方向数量的乘积写法(与向量做功函数相关)等等。从而在几何学的意义上面,我们也就是可以真的发现一些向量数据是非常需要通过数形的相结合的,数形的相结合也真的可以说是让我们更加直观的可以看见向量数据在图上之间是如何相互反映的,也就是可以更好的便于我们快速解题,数形结合需要我们在进入高中学习时期要先打好做题基础,要先学会把一个题目中的条件转换成一种图像式来表达,这样我们自己才能更容易的学会去正确理解和掌握做题。在三维空间中的直角向量坐标系中,我们也常常可以把直角向量和两个平面直角坐标系以数对的来表示,例如:在空间xoy两个平面中(1,2)向量是一个直角向量。几何线性向量的微分概念在任何线性向量代数中经由微分抽象化,将有机会可以得到更加一般的几何向量代数概念。这里的元素向量概念会分别定义在称为元素向量三维空间的每个元素, 要特别注意这些元素抽象数学意义上的元素向量不一定全都会以数对数来表示,大小和移动方向的向量概念也不一定相同。 所以,平时学习阅读时就必需按照要求来正确区分本文题目中所说的基本向量到底是哪一种概念的基本向量。不过,我们依然希望可以通过找出一个具体向量几何空间的基来设置向量坐标系,也就是可以通过不断选取恰当的向量定义,在一个向量几何空间基础上介入特定向量范数和内积, 这些都要利于允许我们把抽象数学意义上的两个向量空间类比来作为具体的向量几何定义向量。

参考文献

[1].高中数学（人教A版）必修四第三章：平面向量

[2].高中数学（人教A版）选修2-1第三章：空间向量

[3].同济大学数学系. 高等数学（第六版下册）. 北京. 高等教育出版社. 2007. 20-21.

[4].同济大学数学系 ．工程数学:线性代数(第六版)：高等教育出版社，2014