数列求和———— 裂项相消法高考常见的类型总结

数列求和———— 裂项相消法高考常见的类型总结

袁士杰

黑龙江省农垦建三江管理局第一中学数学组

裂项相消法是数列求和中的常见求解策略，说是高考的高频考点，通常出现在数列解答题的第二问，是学生必须掌握的内容，本文章就是对裂项相消法常见的经典题型进行总结，，基本上，数列的通项中含有乘积的分式的形式，就应该想到这种方法。

（一）、减法型：裂项为减法，分母之“差”等于分子

裂项相消法就是将代数式中的项拆分成“两项的差”的形式，使得其在进行求和运算时恰好能够“抵消”多数项而剩余少数几项，从而达到简便求和的目的﹒本文试举例说明﹒

常用的裂项公式

（1）；（2）；

（3）；

（4）；

（5）；（6）

类型一：等差型（裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为两式的差）

（1）连续两项型

1．已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项和为

A． B． C． D．

解、设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d.

∵a₅＝5，S₅＝15，∴ ⇒ ⇒a_n＝n.

∴ ＝ ＝ ，

S₁₀₀＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝ .

2．已知数列 满足 ， ， .

（1）求证：数列 是等比数列；

（2）已知 ，求数列 的前 项和 .

解、（1）当 时， 、当 时

∴数列 是首项为2，公比为 的等比数列

（2）由（1）知 ∴

∴

∴ .

3．若 的前 项和为 ，点 均在函数 的图像上.

（1）求数列 的通项公式；（2） ，求数列 的前 项和 .

解、（1）由于点 在函数 的图像上，所以 ①.

当 时， ；当 时， ②，

①-②得 .当 时上式也满足，所以数列 的通项公式为 .

（2）由于 ，所以 ，

所以

所以 .

（2）相隔项

4．记 为数列 的前n项和，已知 .

（1）求 的值及 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和.

解：（1）当 时， ，

故 ，即 ，又 ，

故对任意 ， .

（2）由题知 ，

则前n项和 .

变式2．已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ．

（1）求数列 的通项公式；（2）已知对于 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值．

解、（1） 时， ，又 ，∴ ．

当 时， ， ，

作差得 ．∵ ，故 ，∴ ，

故数列 为等差数列，∴ ．

（2）由（1）知 ，∴ ，

从而

，

∴ ，故 的最小值为 ．

总结：（1）利用裂项相消求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项。等差型数列，当是分母连续是连续两项相乘时，前面剩一项，后面剩一项，特点“符号相反，位置对称”。如果分母相乘，是相隔项，那么前面剩两项，后面剩两项，特点仍然是“符号相反，位置对称。如果分母是相隔两项，那么前面剩三项，后面余三项。

（2）通项公式裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后等式两边保持相等。

类型二、无理性(分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项，可以利用公式；

5．已知 ， .记数列 的前n项和为 ，则 （ ）

A． B． C． D．

解、由题意 ，

所以 .

故选：D.

类型三、指数型

6、已知数列 的前 项和为 ，且 .

（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 .

解、（1）当 时， ，得 当 时，有 ，

所以 即 ，满足 时， ，

所以 是公比为2，首项为1的等比数列， 故通项公式为 ．

（2） ，

．

7．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项．

（1）求 与 ；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．

解：（1）设等比数列 的公比为 ，∵ ， 是 与 的等差中项．

∴ ， ，即 ，联立解得 ，

∴ ． ．

（2） ，

∴数列 的前 项和

．

变式：已知数列 的前 项和为 ，且 .

（1）证明：数列 为等比数列；

（2）若 ，求数列 的前 项和 .

解：（1）当 时， ，则 .

当 时，因为 ，所以 ，

则 ，即 .

从而 ，即 .因为 ，所以 .

所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）可得 ，即 .

因为 ，所以 .

，

故 .

8．已知正项数列 的前n项和 满足

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 （n∈N*），求数列 的前n项和 ;

解、（1）当n=1时，a₁=2或-1（舍去）．

当n≥2时， ，

整理可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，

∴{a_n}是以a₁=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴ ．

（2）由（1）得a_n=n+1，∴ ．

∴ ．

（二）、加法型：裂项为加法，分母之“和”等于分子

9、已知 为等差数列 的前 项和，且 ， .

（1）求数列 的通项公式 和前 项和 ：

（2）记 ，求 的前 项和 .

解、（1）设等差数列 的公差为 ，

由 ，得 解得 ，所以 .

.

（2） .

.

总结：裂项相消法加法型，如果通项公式是与一个分式相乘，就是通项公式是正负交替出现的，在裂项的之后，做和才能相抵消，则可以将该分式改写成另一个数列相邻两项的和，求和时可以将相同的项消去。

试卷第3页，总8页