导数中的双变量探秘

陈庭旺

湖北省潜江市园林高级中学 433100

函数与导数及不等式的结合构成了高考压轴试题的特色，通过对高考试题的研究，在众多的压轴试题中，双变量题型特别多，而且类型丰富，解法也是多种多样并且很多高考题都能用多种方法解决，其主要题型有三大类型

类型一、同构函数

类型二、消元（①比值消元，②主次元消元，③代换消元）

类型三、任意与存在型

下面我们通过几个高考真题来探究一下各种双变量的处理和变形方案

类型一、同构函数

例1.（2010辽宁理数）已知函数

（I）讨论函数 的单调性；（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。

解：（I）略（Ⅱ）不妨假设 ，而 ，由（Ⅰ）知在 单调减少，从而

， 等价于 ， ① 令 ，则

①等价于 在 单调减少，即 .

从而 故 的取值范围为

评析：本题关键是把相同的变量移在一起，发现它们结构相同，从而同构函数，研究同一函数的单调性，本题还要注意两个变量的任意性。

同型练（2014湖北卷22） 为圆周率， Error: Reference source not found为自然对数的底数.

（1）求函数Error: Reference source not found 的单调区间；

（2）求 这6个数中的最大数与最小数；

类型二、消元（①比值消元，②主次元消元，③代换消元）

①比值消元:例2.（2005湖南卷）已知函数

（Ⅰ）若 ，且 存在单调递减区间，求 的取值范围；

（Ⅱ）设函数 的图象C₁与函数 图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

解：（I）略（II） 设点P、Q的坐标分别是 则点M、N的横坐标为 C₁在点M处的切线斜率为

C₂在点N处的切线斜率为

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂. 即 ， =

所以 设 则 ①令 则 因为 时， ，所以 在 ）上单调递增. 故 则 . 这与①矛盾，假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

评析：齐次化构造，一般适用于分式结构，通过同除以同一个变量，使得整体上只有一个变量的解题思路，在导数中多以对数函数出现，齐次化的思想在高中很多章节都有着广泛的应用，如不等式中的二元最值，三角函数的齐次式求值，圆锥曲线中的斜率之和等等。

②主次元消元：例3.（2004全国卷2）已知函数 （Ⅰ）求函数 的最大值；（Ⅱ）设 证明 解（Ⅰ）略：（Ⅱ） 设 则 当 在此 内为减函数.当 上为增函数.从而，当 有极小值 因此 即 设 则 当 因此 上为减函数.因为 即

评析：主次元消元法，在解答多元问题时，先选取其中一个变量为主元，把其他变量视为常数，本题选用 为变量， 为常数，使得难度大大的降低了，使问题获得巧解，从而很容易的证明了不等式，这种思想方法在函数，不等式都有着广泛的应用。

③代换消元：（1） 之间相互代换

例4（2018全国卷1理科）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．

解:（1）略（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ，所以 等价于 .设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， .所以 ，即 .

评析：本题整体代换中，充分利用 ，把所有的 都用 替换，从而达到消元目的，注意本题和例1结构有点类似，但是不能用同构函数的方法，因为本题中的 ，它们不像例1中的两个变量是相互独立的，而是相互制约的两个变量，所以不能同构

（极值点偏移）例5.（2016全国卷1）已知函数有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x₁，x₂是的两个零点，证明：

解：(1)略（2）由（1）知 在 递减，在 递增， ，可设_，要证明 .只要证明 又 只要证明_，，只要证明构造 当_，， 在 递增，又 即_， 得证。

评析：本题充分利用 将 换成_，从而达到消元的目的，构造函数 证明

（2）根与系数整体代换

例6.（2017江苏）已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.

（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：

（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 的取值范围．

解析 （1）（2）略（3）由（1）知 设 的两个实根为 ，且设 ，且有 ，因此 ． 在 递增，在 递减，在 递增所以 的极值点是 ，从而

．

记 ， 所有极值之和为 ，

因为 的极值为 ，所以 ，

因为 ，于是 在 上单调递减．

因为 ，由 ，故 ．

评注：本题的双变量问题，通过根与系数的关系， 从而把多变量题转化为单变量 的题，是问题的突破口

（3）变量整体代换 例7 已知函数

(1)对任意 且 ，求证：

(2) 若 ，求证：

解析：(1)略(2) ,整理得

，

由(1)知 ，

_即，

评注：本题的双变量问题是通过整体策略，把 作为一个变量整体处理，从而构造不等式解决

类型三、任意 、存在型 例8. (2005全国卷III)已知函数 ，

（1）求 的单调区间和值域；

（2）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围

解：(1)略（2） 时，

因此当 时。 为减函数，从而当 时有

又 ,即当 时有

任给 ， ，存在 ，使得 ，则

即 解得

又 ，所以a 的取值范围为

评注：双变量的任意、存在型问题一般都是取各自函数的值域，通过最值比较大小解决不等式问题，通过值域包含情况解决等号问题

同型练[2015·全国卷Ⅱ] 设函数

(1)证明： 在 单调递减，在 单调递增；

(2)若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围

总之通过对以上高考题的研究和归类，供读者参考，无论哪类题型的双变量问题，其核心在于变成单变量的题，从此问题就迎刃而解．