关于函数连续性与间断点的教学体会

关于函数连续性与间断点的教学体会

刘琳

大连财经学院 辽宁大连 116622

摘要：《高等数学》作为大学理工类学科必修科目，其学习难度系数较高，很多学生学起来很困难。连续函数和间断点的概念一直是教学的难点，也是考试的重点。笔者在大量教学实践的基础上，对于如何讨论函数在一点处的连续性以及间断点的判定进行了比较系统的分析讲解，收到了比较好的教学效果，从而提升了《高等数学》的教学质量。

关键词： 连续函数； 函数的间断点；分类

《高等数学》这门学科的研究对象是函数，中学讲的函数一般都是连续函数，而大学数学涉及的函数有的是连续函数，有的是不连续函数，也就是有间断点的函数。在教学过程中，本人发现很多学生对于连续函数的概念掌握的不好，因为连续是用极限刻画的，很多学生对于极限的思想就没有理解，另一方面，关于极限的计算掌握不好，导致无法确定函数是否连续。之后又学习了间断点的概念，学习间断也是为了更好的认识连续。基于上述问题，我在教学过程中将教学重点放在函数连续性概念的建立，函数在一点处连续性的讨论以及间断点的判定与分类上。对于如何讨论函数在一点处的连续性以及间断点的判定进行了比较系统的分析讲解，收到了比较好的教学效果。

连续性是函数重要特征之一，现实世界中的许多变量都是连续变化的.例如, 温度的变化、水的流动、植物的生长等，都可以看成是随着时间 在连续不断地变化着的函数.这反映在数学上就是函数的连续性，它是与函数极限概念密切相关的另一基本概念.直观地讲，所谓函数 在点 处连续，就是指函数 的图形在点 处连续而不间断．因此，可以很自然地引入如下定义．

1. 函数在一点处连续的定义

函数在一点连续的定义有三种形式叙述：

设函数 在点 的某邻域内有定义:

(1)如果 ，则称函数 在点 处连续．

(2) 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋近于零时，函数值的相应改变量 也趋向于零，则称函数 在点 处连续.

(3)函数 在点 处连续 任给 ，存在 ，当 时，有 成立.

下面说明左连续及右连续的概念．

如果 存在且等于 ，即

,

则称函数 在点 处左连续，如果 存在且等于 ，即

则称函数 在点 处右连续.

显然，函数 在点 处连续 函数 在点 处既左连续又右连续，即可以表达为下面定理：

定理：

一般地，当判断分段函数在分段点处的连续性时就要用到上面的定理。

例1 研究函数 在 点的连续性.

解 由于 ， ，所以

.又由于 ，得到 .

故 在 点连续.

例2 设 ，确定 的值，使 在点 处连续．

解 因

，

，

且有

，

因此，当 时，有 ，即 在 处连续．

二、函数的间断点及其分类

1．间断点的定义

设若函数 在点 处不连续，则点 称为 的不连续点或间断点．

如果函数 在点 处不连续，则必为下列三种情况之一：

（1）函数 在点 处无定义;

（2）函数 在点 处有定义，但 不存在;

（3）函数 在点 处有定义， 存在，但 .

2．间断点的分类

图1 间断点的分类

图2 可去间断点 图3 跳跃间断点 图4 第二类间断点

若 是函数 的可去间断点，即

按下述方法使函数在 变为连续：

若 无意义,在 补充定义，令其函数值等于极限值： ;若 ，在 改变定义，，令其函数值等于极限值： 。

例3 函数 在 没有定义, 所以点 是函数的间断点.

因为 , 如果补充定义: 令 时 , 则所给函数在 连续，所以 称为该函数的第一类（可去）间断点.

例4 设函数 .

因为 , , , 所以极限 不存在, 是函数 的间断点. 因函数 的图形在 处产生跳跃现象, 为函数 的第一类（跳跃）间断点.

例5 函数 在点 没有定义, 所以点 是函数 的间断点.

当x®0时, 函数值在+1与-1之间变动无限多次, 所以点 称为函数 的第二类（振荡）间断点.

例6 正切函数 在 处没有定义, 所以点 是函数 的间断点. 因为 , 故 为函数 的第二类（无穷）间断点.

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系 . 数学分析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2001. [2] 李林曙 . 经济数学基础微积分 [M]. 北京：高等教育出版社， 2010. [3] 黄玉兰.函数的间断点及其分类[J].企业导报，2015（24）：184-185.

[4] 李一帆.函数间断点的分类及其计算方法[J].科技资讯，2017（26）：218