极坐标系与参数方程解题策略分析

极坐标系与参数方程解题策略分析

朱育璋

贵港市高级中学 广西壮族自治区贵港市 537100

摘要：高考中对极坐标系与参数方程这一部分主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求轨迹方程，还考察距离，角度等问题，涉及了直线、圆、圆锥曲线等几何对象，交汇了平面几何知识，三角函数化简求值等知识点，属于一道综合题，是教学中的难点，更是学生的盲点，需要更为合理有效的参数方程，本文就次问题进行阐述。 关键词：参数方程 参数方程 距离

一. 方程互化问题.若是极坐标方程与直角坐标方程互化，需要记好直角坐标系与极坐标系的坐标关系;若是参数方程与普通方程互化，需牢记直线、圆、椭圆参数方程的基本结构，还要掌握消参基本方法。

1. （2019全国I卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，求 和 的直角坐标方程.

1. 解：（1）曲线 :由题意得 ，即 ，则 ，然后代入即可得到 ，而直线 ：将 ， 代入即可得到 ；

2.（2018全国II卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数），求 和的直角坐标方程.

2. 曲线 的直角坐标方程为 ．当 时，的直角坐标方程为 ，当 时，的直角坐标方程为 ．

二. 坐标系选择，优先选择直角坐标系思考问题，使用以往的思考模式考虑问题，若运算量过大，且涉

及到原点的距离问题，可以选用极坐标系。

3. （ 2019全国III卷）如图，在极坐标系 中， ， ， ，

， 弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线

是弧 ， 曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，分别写出 ， ， 的极坐标方程.

3. 由题设可得，弧 ， ， 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .

4. （2019全国II卷）在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过点

且与 垂直，垂足为 ，当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程．

3. ， ，则 点的轨迹为以 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为 ，

化成极坐标方程为 ，又 在线段 上，由 ，可得 ， 点轨迹的极坐标方

程为 ．

三.在直角坐标系，有普通方程和参数方程的选用，优先选用普通方程，在熟悉的模式下思考问题，有三种情况使用参数方程：①直线标准参数方程，用于在直线上到定点的距离问题；②圆、椭圆参数方程：与圆、椭圆上的动点有关的几何量值或最值；③普通参数方程：给定参数，求参数方程.

3. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 .以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，

建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .①写出 的普通方程和 的直角坐标方程；②设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标.

5. ① 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . ②由题意，可设点 的直角坐标为 .因为 是直线，所以 的最小值即为 到 的距离 的最小值， 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 .

6.已知直线 经过点 ，倾斜角 ，圆 的极坐标方程为 .①写出直线 的参数方程，并把圆 的方程化为直角坐标方程；②设 与圆 相交于两点 、 ，求点 到 、 两点的距离之积．

6. 直线 的参数方程为 ,即 ( 为参数) 由 ,得 ，所以 ， ，∴ .②把 代入 .得 ， .

7.（2018年全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，求 中点 的轨迹的参数方程．

7. 的参数方程为 （ 为参数， ）．设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，且 ， 满足 ．于是 ， ．又点 的坐标 满足 ，所以点 的轨迹的参数方程是 ，（ 为参数， ）．

最后对极坐标系与参数方程解题策略进行小结，①首先化方程为直角坐标系下的一般方程，然后作图分析；② 平台选择：首先在直角坐标系下尝试解决问题，若思路简洁，运算不繁，可以继续在此平台处理；若所求的几何量涉及点到原点的距离，及角度，可以尝试在极坐标系平台处理问题，若运算不繁可以坚持使用此平台. 参考文献： <1>李红庆, 陶友根, 马俊. 极坐标系与参数方程的题型及解题策略分析[J]. 中学数学教学参考旬刊, 2018, 000(006):P.41-44. <2>倪淑雯. 极坐标与参数方程解题策略及教学建议[J]. 中学教研:数学版, 2020(4):13-18. <3>王希红. 注重解后反思 寻求最优解法——一道极坐标和参数方程题的多种解法[J]. 教学考试, 2018(29):29-31. <4>张锋. 洞悉命题意图 寻求最优解法——一道市模考题的答卷情况分析与思考[J]. 新高考(高三数学), 2015(2):16-18.

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