例谈全国卷《不等式选讲》的典型题型与求解策略

例谈全国卷《不等式选讲》的典型题型与求解策略

黄周松

广东省汕头市潮师高级中学 广东汕头 515154

【摘要】选修4-5《不等式选讲》是高考全国卷选考内容之一，题型灵活多样，技巧性强.研究历年高考试题是把握正确教学导向、有效提高教学质量和效率的重要途径. 本文主要是根据全国卷高考题的考查进行分析与归类，然后归纳和总结《不等式选讲》的典型题型和求解策略，期望能够对备考复习有所帮助.

【关键词】不等式选讲；全国卷；典型题型；求解策略

《不等式选讲》是高考全国卷选考内容之一，该专题包括：不等式的基本性质、含绝对值不等式的求解、不等式的证明（比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法）和几个著名的不等式（绝对值三角不等式、均值不等式、柯西不等式）.本文主要是根据全国卷高考题的考查内容进行分析与归类，然后归纳和总结《不等式选讲》的典型题型和求解策略，期望能够对备考复习有所帮助.

一、试题特点分析

试题考查形式和分值稳定，考查形式都以选做题形式出现，分值都是10分，且文理科题目相同. 全国1卷重点考查解绝对值不等式、恒成立问题求参数取值范围、均值不等式、数形结合思想等题型，而证明题是全国2卷的典型题型. 试题渗透分类讨论思想、转化化归思想、数形结合思想以及用函数的观点解决不等式问题等特点.

二、总结题型与求解策略

题型一、解绝对值不等式

①解含单个绝对值不等式

例1.1【2016全国卷3】已知函数 (I)当 时，求不等式 的解集.

分析：解决含绝对值的问题，关键是去掉绝对值号，转化为不含绝对值的问题求解.

解 (I) ， ，

，

.

评注：本题考查了含单个绝对值不等式求解问题，可利用等价不等式求解.

如果 ，则

本题型的高考题还有2014全国2卷(II).

②解含两个绝对值不等式

例1.2【2018全国卷1】已知函数 (I) 求不等式 的解集.

分析：解决含两个绝对值不等式求解问题，一般采用零点分区间讨论法.

解 (I)

① ② ③

解得①无解， ② ， ③ ，

.

评注：本题考查了含两个绝对值不等式求解问题，一般采用零点分区间讨论法，解题步骤大致为：①求零点、分区间、去绝对值号；②分别求解各区间上所得不等式；③取所得结果的并集. 这考查了分类讨论思想，要求做到既能准确分类，做到不重不漏，又能合理整合.

本题型的高考题还有2019全国2卷(I)，2018全国2卷(I)，2017全国1卷(I)，2017全国3卷(I)，2016全国2卷(I)，2013全国1卷(I).

题型二、绝对值三角不等式的应用

例2【2018全国2】 (II)

分析： ，需求出 的最小值，运用绝对值三角不等式即可得到，而 等价于 ，再解含单个绝对值不等式便可得到 的取值范围.

解 (II) ， ，

，

， .

评注：本题考查了“绝对值三角不等式”的应用，得到 的最小值，再将不等式的解的问题转化为关于 的不等式恒成立问题.“绝对值三角不等式”应用的高考题还有2016全国3卷(II)，2014全国2卷(I).

题型三、恒成立问题求参数取值范围

例3【2018全国1】 (II)

分析：结合 的取值范围将不等式等价转化，得到 ，据此得出 的取值范围.

解 (II)

，

， .

评注：本题型考查了恒成立问题求参数取值范围. 一般地，对于恒成立问题，有

本题型的高考题还有2013全国1卷(II)，2017全国1卷(II)，2019全国2卷(II).

题型四、数形结合思想

例4【2015全国1】 (II)若函数 的图象与 轴围成的三角形面积大于6，求 的取值范围.

分析：先将含绝对值函数化为分段函数，结合分段函数的图象便可得到函数 的图象与 轴围成的三角形. 再计算出该三角形的面积，通过解 得到 的取值范围.

解 (II) ，图象如下：

结合函数 的图象，得 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为

， ， .

评注：通过去绝对值符号得到分段函数表达式，画出分段函数的图象，结合函数的图象确定围成的三角形，体现了数形结合思想的应用.

“数形结合思想”的高考题还有2016全国1卷，2018全国3卷.

题型五、证明

例5.1【2016全国2】已知函数 (I)

(II) .

分析：(II)要证明两个多项式的大小关系，可用“作差比较法”证明.

解 (I) ；

证明 (II)

.

评注：本题考查了“作差比较法”证明不等式.要比较两个多项式的大小关系，可以转化为它们的差与0的大小关系.两个绝对值的多项式的大小关系等价于它们的平方的大小关系，化难为易，体现了转化化归思想地灵活应用.

例5.2【2019全国1】已知 为正数，且满足 ，证明：(I) ；

(II)

分析：(I)利用 先做变形，再重要不等式 构造三个不等式相加进行证明.(II)利用均值不等式，三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 特别要注意“一正二定三相等”.

证明 (I)因为 为正数，且满足 ， .

因为 ，

即 ，当且仅当 时取等号.

于是得到

即 ，当且仅当 时取等号.

(II)因为 为正数，且满足 ，由均值不等式可得：

当且仅当 时取等号，即 时取等号.

又 ，

当且仅当 时取等号，

，故 ，

即 ,当且仅当 时取等号.

评注：本题考查了“重要不等式”、“均值不等式”在证明题中的应用.

重要不等式：如果 ，则 ,

均值不等式：如果 ，则

.

多次使用均值不等式证明不等式时要注意等号是否能同时成立.

“均值不等式”应用的高考题还有2013全国2卷，2014全国1卷，2017全国2卷.

例5.3【2019全国3】设 ，且 .(I)求 的最小值；

(II)若 成立，证明： .

分析：注意到是定值，再结合所求问题式子的特点，构造

，

再运用三维柯西不等式求解和证明.

评注：本题型考查了“柯西不等式”的应用. 柯西不等式灵活巧妙，能使一些较为困难的问题迎刃而解. 设

或 时取等号.

总之，充分发挥例题的教学功能，通过对典型例题的教学，做到“掌握方法、规范步骤”.课堂例题应少而精，注重知识的交汇，特别注重对分类讨论思想、函数与不等式和数形结合思想，以及转化能力和推理论证能力的培养. 要善于引导学生归纳总结解题策略，提升解决问题的能力..

【参考文献】

1. 秦庆雄、范花妹，例谈《不等式选讲》的复习参考[J].数学通讯，2018,780期：34-40.

2. 郭兴甫，不等式选讲中的典型问题及处理策略[J].数学通讯，2018,782期：39-43.

3. 洪丽敏，解不等式问题必备的四种解题意识[J].中学生数学，2019,607期：33-34.

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