广东省汕头市潮师高级中学 广东汕头 515154
【摘要】选修4-5《不等式选讲》是高考全国卷选考内容之一,题型灵活多样,技巧性强.研究历年高考试题是把握正确教学导向、有效提高教学质量和效率的重要途径. 本文主要是根据全国卷高考题的考查进行分析与归类,然后归纳和总结《不等式选讲》的典型题型和求解策略,期望能够对备考复习有所帮助.
【关键词】不等式选讲;全国卷;典型题型;求解策略
《不等式选讲》是高考全国卷选考内容之一,该专题包括:不等式的基本性质、含绝对值不等式的求解、不等式的证明(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法)和几个著名的不等式(绝对值三角不等式、均值不等式、柯西不等式).本文主要是根据全国卷高考题的考查内容进行分析与归类,然后归纳和总结《不等式选讲》的典型题型和求解策略,期望能够对备考复习有所帮助.
一、试题特点分析
试题考查形式和分值稳定,考查形式都以选做题形式出现,分值都是10分,且文理科题目相同. 全国1卷重点考查解绝对值不等式、恒成立问题求参数取值范围、均值不等式、数形结合思想等题型,而证明题是全国2卷的典型题型. 试题渗透分类讨论思想、转化化归思想、数形结合思想以及用函数的观点解决不等式问题等特点.
二、总结题型与求解策略
题型一、解绝对值不等式
①解含单个绝对值不等式
例1.1【2016全国卷3】已知函数 (I)当
时,求不等式
的解集.
分析:解决含绝对值的问题,关键是去掉绝对值号,转化为不含绝对值的问题求解.
解 (I) ,
,
,
.
评注:本题考查了含单个绝对值不等式求解问题,可利用等价不等式求解.
如果 ,则
本题型的高考题还有2014全国2卷(II).
②解含两个绝对值不等式
例1.2【2018全国卷1】已知函数 (I)
求不等式
的解集.
分析:解决含两个绝对值不等式求解问题,一般采用零点分区间讨论法.
解 (I)
① ②
③
解得①无解, ② , ③
,
.
评注:本题考查了含两个绝对值不等式求解问题,一般采用零点分区间讨论法,解题步骤大致为:①求零点、分区间、去绝对值号;②分别求解各区间上所得不等式;③取所得结果的并集. 这考查了分类讨论思想,要求做到既能准确分类,做到不重不漏,又能合理整合.
本题型的高考题还有2019全国2卷(I),2018全国2卷(I),2017全国1卷(I),2017全国3卷(I),2016全国2卷(I),2013全国1卷(I).
题型二、绝对值三角不等式的应用
例2【2018全国2】 (II)
分析: ,需求出
的最小值,运用绝对值三角不等式即可得到,而
等价于
,再解含单个绝对值不等式便可得到
的取值范围.
解 (II) ,
,
,
,
.
评注:本题考查了“绝对值三角不等式”的应用,得到 的最小值,再将不等式的解的问题转化为关于
的不等式恒成立问题.“绝对值三角不等式”应用的高考题还有2016全国3卷(II),2014全国2卷(I).
题型三、恒成立问题求参数取值范围
例3【2018全国1】 (II)
分析:结合 的取值范围将不等式等价转化,得到
,据此得出
的取值范围.
解 (II)
,
,
.
评注:本题型考查了恒成立问题求参数取值范围. 一般地,对于恒成立问题,有
本题型的高考题还有2013全国1卷(II),2017全国1卷(II),2019全国2卷(II).
题型四、数形结合思想
例4【2015全国1】 (II)若函数
的图象与
轴围成的三角形面积大于6,求
的取值范围.
分析:先将含绝对值函数化为分段函数,结合分段函数的图象便可得到函数 的图象与
轴围成的三角形. 再计算出该三角形的面积,通过解
得到
的取值范围.
解 (II) ,图象如下:
结合函数 的图象,得
的图象与
轴围成的三角形的三个顶点分别为
,
,
.
评注:通过去绝对值符号得到分段函数表达式,画出分段函数的图象,结合函数的图象确定围成的三角形,体现了数形结合思想的应用.
“数形结合思想”的高考题还有2016全国1卷,2018全国3卷.
题型五、证明
例5.1【2016全国2】已知函数 (I)
(II) .
分析:(II)要证明两个多项式的大小关系,可用“作差比较法”证明.
解 (I) ;
证明 (II)
.
评注:本题考查了“作差比较法”证明不等式.要比较两个多项式的大小关系,可以转化为它们的差与0的大小关系.两个绝对值的多项式的大小关系等价于它们的平方的大小关系,化难为易,体现了转化化归思想地灵活应用.
例5.2【2019全国1】已知 为正数,且满足
,证明:(I)
;
(II)
分析:(I)利用 先做变形,再重要不等式
构造三个不等式相加进行证明.(II)利用均值不等式,三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 特别要注意“一正二定三相等”.
证明 (I)因为 为正数,且满足
,
.
因为 ,
即 ,当且仅当
时取等号.
于是得到
即 ,当且仅当
时取等号.
(II)因为 为正数,且满足
,由均值不等式可得:
当且仅当 时取等号,即
时取等号.
又 ,
当且仅当 时取等号,
,故
,
即 ,当且仅当
时取等号.
评注:本题考查了“重要不等式”、“均值不等式”在证明题中的应用.
重要不等式:如果 ,则
,
均值不等式:如果 ,则
.
多次使用均值不等式证明不等式时要注意等号是否能同时成立.
“均值不等式”应用的高考题还有2013全国2卷,2014全国1卷,2017全国2卷.
例5.3【2019全国3】设 ,且
.(I)求
的最小值;
(II)若 成立,证明:
.
分析:注意到是定值,再结合所求问题式子的特点,构造
,
再运用三维柯西不等式求解和证明.
评注:本题型考查了“柯西不等式”的应用. 柯西不等式灵活巧妙,能使一些较为困难的问题迎刃而解. 设
或
时取等号.
总之,充分发挥例题的教学功能,通过对典型例题的教学,做到“掌握方法、规范步骤”.课堂例题应少而精,注重知识的交汇,特别注重对分类讨论思想、函数与不等式和数形结合思想,以及转化能力和推理论证能力的培养. 要善于引导学生归纳总结解题策略,提升解决问题的能力..
【参考文献】
秦庆雄、范花妹,例谈《不等式选讲》的复习参考[J].数学通讯,2018,780期:34-40.
郭兴甫,不等式选讲中的典型问题及处理策略[J].数学通讯,2018,782期:39-43.
洪丽敏,解不等式问题必备的四种解题意识[J].中学生数学,2019,607期:33-34.
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