浅析数学课堂中的那些“错误”和“措施”

浅析数学课堂中的那些“错误”和“措施”

何倩

（浙江省丽水市莲都区泄川小学，浙江省　丽水市　 323000）

　　【摘要】“乘法分配律”是四年级运算律教学中的一个重要内容，在简便计算中常常能见到它的身影。但是在运用它时，同学们经常将它和乘法结合律混淆。典型错误如“（a×b)×c=a×c+b×c”,“（a+b）×c=a+b×c”等。笔者结合自身在教学中发现的学生错误，进行了深入的分析和思考。

　　【关键词】 错误 乘法分配律 策略

数学这门学科，在理论上具有一定的抽象性，学生在学习过程中很容易出现认知的偏差，导致一些知识错误。面对学生犯的错误，作为教师，我们不能一味谴责，而是应该静下心来认真分析学生的错误，找出知识错误背后的原因，然后对症下药。曾经有一位专家就说过“课堂就是学生出错的地方”。我们要以宽容的心态来看待学生的“错误”，看到它的闪光点，让错误变成我们手中有用的教学资源。

一．聚焦学生的“知识错误”

在学习的过程中，随着学习内容的增多，大脑中的知识网络越来越广，学生会出现知识混乱，甚至在实际运用中会出现“张冠李戴”等问题。

例如，学生在单项学习“乘法结合律”时，面对“125×88”这个算式，学生立马想到把“88”拆成“8×11”，然后运用乘法结合律来简便计算，即125×88=125×（8×11）=125×8×11=1000×11=11000

同样地，在单项学习“乘法分配律”时，看到“125×88”这个算式，因为思维定势原因，学生照葫芦画瓢想到的便是把“88”拆成“80+8”，然后根据乘法分配律的特点来简便计算，即125×88=125×（80+8）=125×80+125×8=10000+1000=11000

随着时间的推移，将乘法分配律和乘法结合律混合在一起使用时，学生的认知里因为有这两个概念的存在，知识混淆现象就产生了。例如：错题一“25×（4×40）=（25×4）×（25×40）=100×1000=100000”，错题二“125×25×32”=125×25×（8×4）=125×8+25×4=1000+100=1100

2. 分析“知识错误”的根源

（一）学生层面

这些错误，看似是学生的粗心和马虎造成，但究其本质原因还是学生对乘法分配律的结构特征认知不到位。因为认知不到位，所以看到有括号的乘法算式，立马想到去分配，生搬硬套，导致乘法分配律这个新知识对乘法结合律产生了逆向负迁移。

（二）教师层面

对于乘法分配律，学生在理解上产生知识偏差，这可能和教师的教学环节有关。教学时，教师基本都是按照“情境引入——列式解答——不同算法展示——观察两个算式的相同和不同之处——得出等式——根据特点写出其他类似等式——用字母式表示这个规律”这样的一个模式进行教学。在这样的模式下，学生实际上只是掌握了“乘法分配律”的外在形式模仿，并没有真正的理解乘法分配律为何要这样分配。

2. 为杜绝“知识错误”出谋划策

教学中，教师能够为学生提供更多的素材，让他们结合具体情境，直观地去认识“乘法分配律”的内在特征，这对学生来说，就减少了混淆乘法分配律和乘法结合律的可能性。

1. 借助模式直观感知乘法分配律

如例题所示，先让学生分别说一说自己的想法，然后根据他们的思路，展示两组算式“（3+2）×7和3×7+2×7 ”，“（60+20）×45和60×45+20×45”接着引导学生去思考比较：这两种解题方法有什么区别？发现一种是“先相加，再相乘”，另一种则是“先分别相乘，再相加”。通过数形结合这样的方式直观呈现，不仅强化了学生对乘法分配律的外在形式结构的认识，也让学生在分析每一步思路的过程中对乘法分配律的内涵有了一定的理解。

（二）借助情境意义理解乘法分配律

规律的得到一般都是经历“观察发现——举例验证——得出结论”这样的一个过程。但是这样的探索过程，只能说明学生对这一规律形式上的掌握，不能说明学生是否真正理解该规律。所以接下去的环节，我们可以通过让学生结合具体情境来解释说明乘法分配律，以帮助学生深刻理解并运用它。

例如：“新学期我们班换了课桌椅，已知课桌65元/张，椅子35元/把，买45套课桌椅一共需要多少钱？”我们可以先算一套课桌椅的价钱，再乘以45套算出总钱数。也可以先算45张桌子的钱和45把椅子的钱，再把课桌的钱和椅子的钱相加得到总钱数。

再比如，计算长方形周长时，我们可以先算（长+宽），再乘以2得到周长。也可以先算长×2和宽×2，再把他们的积相加得到周长。

爱因斯坦曾说过“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要¹”。教学中，让学生根据算式，结合生活中的例子来提数学问题，通过提出的数学问题来解释说明乘法分配律。经历这样的一个过程，学生对乘法分配律的本质意义就有了更深刻的理解。

同样地，我们也可以借助乘法的意义，来帮助学生理解它的内涵。例如：35×9+65×9可以看成是35个9加65个9，也就求（35+65）个9，因此35×9+65×9=（35+65）×9。

（三）乘法分配律和乘法结合律的辨析

由于学生对乘法分配律的认知偏差，造成了它和乘法结合律在实际运用中的过程混乱。为了让学生更好的区分两者，我们可以从结构和意义上分别进行比较来进一步强化它们的特征。

首先是在结构上，乘法结合律“（a×b）×c=a×(b×c)”,它是几个数连乘，它改变的是算式的运算顺序。乘法分配律“（a+b）×c=a×c+b×c”,它既涉及了乘法运算，又涉及到了加法运算，不仅运算顺序发生了改变，形式上也是发生了复杂的变化。它可以“先相加，再相乘”，也可以“先分别相乘，再相加”。

其次从意义上，针对学生易错的25×（4×8）和25×（4+8），可以设置一定的情境，让学生结合情境去比较区别两者的不同。

例如：求下列大长方形的面积（单位：米）

题一：可以列式为“25×8×4”，即先求“一个小长方形的面积”，再求“4个相同长方形的面积”。也可以列式为“25×（8×4）”，即先求“大长方形的长”，再根据“长×宽”求出大长方形的面积。

（四）借助“错题”本质认识乘法分配律

古人云：“人非圣贤，熟能无过”。在运算律的教学过程中，我们常常能捕捉到学生出现的各种张冠李戴、无中生有的错误。这时，我们会采取立即纠错的方式，告诉学生他的错误，让他立马改正。但其实这样的方式，只是让学生在当时那个时刻纠正了错误，并不能达到杜绝错误的效果。

周恩来曾说过“错误是不可避免的，但是不要重复错误”。为了避免学生再犯类似错误，我们要让学生自己去发现问题，找到原因对症下药，从而掌握知识之间的本质特征与区别。

美国著名心理学家布鲁纳说过：“学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者”²。通过这样的一场激烈的辨析活动，学生对于乘法结合律和乘法分配律的本质就有了更深刻的认识。

综上，要想让学生真正掌握乘法分配律，不能仅靠单纯的题海战术以达到加深学生印象的目的。虽说学生可能当时会因为“思维定势”“照葫芦画瓢”的原因，这些题型的简便计算都能完成很好。但是由于没有从知识本身的内部结构去深入理解，随着时间的推移，按照记忆遗忘曲线规律，学生的认知还是会产生混乱。

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程³。在面对学生的“错误”时，我们要以宽容的态度去对待，把这些错误当成我们教学中的宝贵财富，去深入分析原因，并针对性地想出解决对策。这不仅为学生的学习带去了福音，也为我们的日后教学打开了方向。

　　【参考文献】

1. 丁玉华.以问题提出促进意义建构———“乘法分配律”教与学现状分析及教学建议[J].教育科学论坛.2019,（2）:46-50.

2. 李丽华，孙政美.错题资源在“运算律的整理与复习”中的运用例谈[J].中国农村教育.2019,(3).

3. 郑圣发.引导学生“入木三分”地认识规律[J].基础教育究.2017,(2):61-62.

4. 邬旭亮.“乘法分配律”教学需要三个“关注” ——“乘法分配律”教学实践与思考[J].基础教育论坛.2020，（2）65-66.

1刘永波. 科学教学中学生问题意识的培养[J ]. 中国教育技术装备. 2011，(25).

2 刘灌缘. 对话教学法在初中英语课堂的应用研究[A ].2017.

3 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.3