代数几何的发展前沿历史

代数几何的发展前沿历史

周显丽 周健

贵州师范大学 数学科学学院 550001

贵州省毕节市七星关区安顶小学 550001

摘要：在20世纪数学史上，代数几何学始终处于一个核心的地位，一直是迪厄多内意义上的主流数学。每个数学理论都有其发展历程，每一段历程都是其发展的前沿，因此研究代数几何以及其发展历程有助于对数学的进一步了解。

关键字：代数几何；前沿；历史

1 代数几何理论与其前沿发展历程

用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何的踪迹可以追溯到公元前, 17世纪笛卡尔建立的解析几何可以看作是代数几何的先声。^[1]​代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。^[2].代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然使用坐标法，但是采用坐标法多建立在射影坐标系的基础上。在解析几何中，主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类，继而过渡到研究任意的代数流形。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。^[3]

1、1 黎曼代数几何发展前沿的奠基人

黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，其中就包括对代数几何的深刻影响，黎曼是通过研究阿贝尔函数论涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了黎曼曲面的概念 ，把阿贝尔函数论和黎曼曲面的工作综合起来，黎曼把代数曲线作为黎曼曲面上的函数论来研究，并且引进第一个双有理的不变亏格，只有在代数几何里才有双有理等价概念，这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的刚性从而开辟了代数几何的新篇章。通过亏格黎曼又提出了模空间的概念，现今这个东西可是大热门，并且和他的学生罗赫得出了代数几何学中的一条中心定理——黎曼-赫定理。

2 代数几何前沿发展阶段

代数几何的中心问题是对代数簇分类。但现阶段尚无希望完全解决, 人们只能从不同的角度考虑更弱的问题。一维的情形是代数曲线, 其分类很容易, 在19世纪就知道光滑的射影曲线可以用它们的亏格来分类, 这时还有著名的黎曼-洛赫定理。上个世纪四五十年代韦伊和查里斯基用新的语言严格表述代数几何的基础。小平邦彦和沙法列维奇及其学生在上个世纪60年代重新整理了代数曲面的分类。小平在代数几何和复流形上的工作十分有影响, 早在1954年, 他就获得菲尔兹奖, 沙法列维奇在代数数论和代数几何上都做出重要的贡献, 有著名的沙法列维奇猜想, 至今未解决。^[4]​代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P（x，y）=0定义的轨迹，比如最简单的平面代数曲线——直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从笛卡尔和费马创立几何图形的坐标表示开始说起，但这已经是17世纪的事情了。

从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。 

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（EGA,SGA,FGA）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。

3 结束语

以上对代数几何前沿展介绍是不太不全面的。不过, 从以上的介绍可以看出, 代数几何的发展始终贯穿在对基本问题和基本对象的探索认识中。代数几何的发展离不开巨人的努力，现在的我们只是站在巨人的肩膀上看待问题，研究问题，要想更好的推动代数几何的发展，数学的发展离不开我们一步一个脚印的努力。写完这篇文章后, 一个强烈的感受是在数学的发展中, 我国做出的贡献太少。缺乏好的传统和数学思想乃至背后的哲学思想和思考可能是一个重要的原因, 在这些方面我们还有很大的差距。可能我国已有很多数学家感受到我们还未形成中文数学的思考体系和语言体系, 对数学的认识仍然很不足, 在努力成为数学强国的路途上我们有很多的东西需要弥补, 需要时间, 需要国家的支持, 更需要数学家的努力。

参考文献

1. 席南华， 基础数学的一些过去和现状[J]. 中国科学院院刊, 2012, (02): 57-61.

2. 佚名. 代数几何[M]. 科学出版社, 2007.

3. I.R.Shafarevich. 代数几何[M]. 科学出版社, 2007.

[4] 席南华， 基础数学的一些过去和现状[J]. 中国科学院院刊, 2012, (02):57-61.