中职数学计算器教学的理解和做法

中职数学计算器教学的理解和做法

宋刚

上海科技管理学校 200433

摘要:从理论和实践的层面理解中职手持计算器教学的重要性迫切性，通过应用手持计算器重要案例进一步提高中职生使用计算器能力。

近一二十年来，以手持计算器技术、信息化网络计算技术为代表的现代计算技术的快速发展和普及，对我们中职数学教育的学习方式、数学计算方式、教学目标管理和数学学习条件要求产生了巨大的影响，对中职数学教育提出了新的更高的要求。国内国际生产建设的竞争越来越激烈，对蓝领建设者数学计算分析要求提出了更高的要求，手持计算器计算技术的不断发展大大加快了应用数学应用普及的进程，使中职教育培养的具有实际应用能力的应用型人才的数学计算分析能力得到提高，适应现代生产建设的要求。计算技术和知识的增长变化越来越快，中职学生的数学学习基础也在发生不断的变化，要求我们尽可能提高教学的质量与效益。我们必须不断改革和明确数学教育的内容目标要求，明确中职数学核心素养和中职数学的“数学双基”的关系，提高中职数学和实际结合意识，适应社会生产建设发展的要求。计算器技术的发展也为中职数学教育提供了新的工具和手段，在推进素质教育，培养具有一定数学计算分析能力应用性人才，提高中职数学教学的质量与学生数学实际应用能力等方面有着极为重要的作用，必将引起中职数学教育教学领域广大师生重视，中职数学教学手持计算器的应用的范围也会越来越广泛,要求也会越来越高。

中职数学的核心素养主要包括“数学知识”, “数学文化”，“数学意识”和“数学能力”这四部分。中职数学的“数学双基”的含义是指数学的基础知识与基本技能，是学生今后提升数学应用能力需要的数学基础。中职数学基础知识是指中职数学教学中涉及的公理、概念、定义、定理、性质、公式，加上由公理、概念、定义、定理、性质、公式等内容发展而来的数形结合、分类讨论、换元、配方、待定系数法、函数和方程、集合等等基本数学思想方法，它是中职数学核心素养“数学知识”的主要组成部分。中职数学中基本技能主要是指能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图、进行简单的推理及特别重要而又可能被忽视的计算器的熟练使用,它是中职数学核心素养“数学能力”的主要组成部分，手持计算器的熟练应用也是数学基本技能的重要组成部分。

中职学生的“数学双基”的选取标准应该是不断变化的，要根据学生的数学基础而有所侧重发展，要根据利于中职学生今后的顺利工作有所侧重发展，要根据有利于解决日常生活生产实际问题等实际问题有所侧重发展，要经过广大教师学生不断的实践确定，它是中职数学教育重要的思想保证。强调手持计算器的应用教学正是这种思想的体现。明确作为学生掌握目标的“数学双基”的概念，特别是计算器的熟练使用基本技能，主要是让学生明确计算器的应用能力也是进一步学习和当今国家建设应用的基础，同时让教师明确不能忽视计算器应用的教学内容，使学生明确要学好手持计算器的内容，通过教师的教、学生的学，最终使学生掌握基本的数学知识与技能，为学生的进一步发展打好坚实的基础。

中职手持计算器应用技能的教学，实际上是对中职数学一大部份数学知识降低学生学习基础门槛方便学生应用的教学。首先，中职数学知识是计算器应用技能的基础，计算器应用技能的训练都离不开中职数学知识的指引和支持，计算器应用技能的学习是建立在相关数学知识的基础之上的.这里的数学知识包括概念、定义、定理、性质和数学思想等知识，它们都是进行计算器应用技能学习的基础和必要条件.计算器可以帮助中职学生快速高效提高数学知识的掌握和实际应用能力。例如，求75度三角比，需要加法定理和特殊三角比等知识作为背景和基础，但利用计算器就非常方便，对中职生来说非常重要。当然离开中职数学知识，孤立地谈计算器应用技能获得是不切实际的。中职生理解和记忆数学基础知识是学好数学计算器应用的前提, 理解就是自己能够知道手持计算器上按键所表示的数学知识的含义和实际作用。由于中职学生的数学基础不同，同一个数学知识，在不同学生的头脑中认知程度是深浅不一的，不同学生的理解，是学生根据计算器上按键所表示的数学知识的深浅认识，然后每个学生个体以各种方法复习学习再加工，是一种复杂的思维过程。手持计算器上按键所表示的数学知识的中职学生理解标准是确定、简单和对应。确定就是要确定按键所表示的数学知识的概念，简单就是将按键所表示的数学知识理解可以用最简单的语言表达出来，对应则是将按键所能解决的实际数学问题有一个实例对应，进而举一反三。对按键所表示的数学知识数学基础知识的理解是确定、简单和对应，三者都非常重要，确定和简单是对应的基础，对应是在实际学习工作中应用好计算器必不可少的一环。记忆是中职学生对数学知识的识记、保持和再现。记忆的方法有各种各样,借助计算器功能键回忆的方法是一种比较有效的记忆方法，比如，看到“log”和相应的操作，学生就会想到对数的定义

是什么,对数的运算法则是什么,对数有几个方面的性质,关于对数有哪些典型的数学问题。比如在三角函数一章中，所有的三角比运算计算器都可以进行，如果能在记忆公式的同时，掌握计算器计算的方法，就能有效地防止遗忘。 总之，利用计算器整理对应有关数学基础知识，并能在理解的基础上进行记忆，可以极大地促进数学的学习，提高中职生“数学双基”能力，进尔提高中职生实际应用数学的能力。

1991年上海实施课程与教材改革，率先把函数型计算器操作知识编入高中教材，从2000年开始计算器可以带入高考考场。中职数学教学也更是将计算器的应用作为一个重要的教学内容，教育部颁布的新大纲和上海数学的课程标准都对计算器的应用提出了目标要求。计算器的合理使用可以提高数学教与学的效率，提高学生解决实际问题的能力及数型结合的能力，提高学生数学的实验动手能力。计算器引入数学教学一定程度改变了老师学生的观念和思维方式，带来学习内容方式行为习惯的变革,中职生用掌握的有限数学知识利用计算器对一类问题进行探索和寻求结果，对提高中职生数学应用能力有不可替代的作用。2015年颁布的“上海市中等职业学校数学课程标准” 指出,中等数学课程要大力加强与现代信息技术的有机整合,强化工具的使用,大力拓展数学教学的渠道,促进课程内容的优化.要通过现代信息技术的应用,改善教学内容的呈现方式,改进教学过程和学习方式,帮助学生理解数学知识。从课程标准中不难看出，工具的使用作为中职学生的数学基本技能的重要性,也就是说计算器的应用是中职学生重要的基本数学技能之一.

目前中职生接触使用的是的函数型计算器，函数型计算器的教学情况也是参差不齐不容乐观。但手持计算器的发展应用非常快，根据相关信息,近些年来图形计算器及其所倡导的数学实验教学不约而同地来到中国。上世纪90年代以来，欧美数学教师允许并鼓励学生在课堂上使用图形计算器。到目前，图形计算器已经作为非常普及的理科学习工具，在某些课程甚至是必需的。图形计算器在欧美的广泛使用证明，图形计算器引入课堂，是数学教育巨大深刻的进步。它有效提高了学生数形结合能力和对数学本质的理解。根据国外多年跟踪研究、超过200多例实证结果惊人一致,使用图形计算器能提升数学学习成绩,呈显著的正相关关系。国际数学科学研究表明，使用图形计算器对学生数学成绩的提高能够起到巨大的促进作用，有利于培养学生学习数学、探究数学的兴趣,提升学生良好的数学思维能力。和欧美图形计算器普及应用的初级阶段一样，在我国图形计算器应用于数学教育均走过了以课题研究为引领的试验阶段。北京师范大学“数学与复杂系统重点实验室”过去和惠普联合做过手持技术与中学数学新课程整合课题研究，总共有200余所试点学校参加该项目，一大批老师学生和工作人员参与图形计算器课堂实践。亚洲数学大会的研究论文提示，中国中学教师应用图形计算器的技术水平日渐提升，并且表现出对学生数学能力促进的现象。正是由于这些积极应用研究，2006年国家教育部门就发布的《初中理科教学仪器配备标准》中，将函数型计算器纳入配备目录。2010年，图形计算器也被纳入《高中理科教学仪器配备标准》。北京、上海等地逐步把应用图形计算器作为对教师的基本技能要求。中学数学课程标准也提到，学校可以建立‘数学实验室’供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力。数学实验室进入中学数学课堂是实现课程标准的必需。《课程标准》的内容新增了数学“实践与综合应用”、几何变换、概率统计等内容。数学实验室的出现，可以有效促进这些新增内容的有效实施。

经过多年的发展，函数图形计算器逐渐走入学校、走进课堂。图形计算器以它的可视性、体现数学过程性、对数学概念的多重表示性，使数学思维过程能逐步体现，并能看得见，从而使抽象到具体，化解思维障碍。图形计算器作为新技术的载体已经进入数学课堂教学，提出了基于图形计算器平台的引导探究教学模式，并通过教学实践验证这一模式的合理性和可操作性。根据相关信息表明图形计算器的使用能优化数学课堂教学，对数学学习有积极的促进的作用。使用基于计算器引导探究模式，可以使学生在学习中的主体性得以体现，有效地提高学习兴趣，增强合作研究学习意识。图形计算器在在一些学校的实践得到了验证,国内数学教学已经开始利用学校建立的数学实验室，国内还有很多学校在探讨建立数学实验室。数学实验室是个新的事物，图形计算器引入数学教学,它为数学教学提供了帮助,引发人们更深刻的思考。

上海市中等职业学校数学课程标准也提出,中职数学课程应适当反映数学的产生发展和应用，数学学科与社会发展之间的相互作用，数学的美学价值，数学家的敬业创新精神。中职数学课程要遵循学生的认知心理发展规律，要突出知识结构体系中的主干部分，突出数学应用的通性通法。要展现知识形成和发展的过程，为学生提供感受数学文化和体验学习过程的机会，使学生在数学学习活动中获得新知，培养能力发展情感。提升学生的数学能力是课程目标的重要组成部分，要在数学学习活动中不断优化学生的数学能力结构。因此中职数学教学也要逐步培养学生具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都得到充分的发展。动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。这就要求我们在中职数学教育中,加强学生实验、探索、猜想等能力的培养，在日常的数学教学过程中逐步引入数学实验。创造过程中的数学，也是一门实验性的归纳科学，这在统计分析中体现的由为突出。中职数学也需要加强实验经验性，它是不断发展的国家建设对中职学生的数学能力的要求。数学是典型的抽象思维过程，这也是很多人畏惧数学的主要原因，而借助图形计算器使数学思维过程能逐步体现，并能看得见，从而使抽象到具体，化解思维障碍，图形计算器是实现数学实验教学的绝佳工具。图形计算器未来引入中职数学教学是中职应用数学和实验归纳的很好探索。

综上所述，根据目前的中职数学计算器配置和教学情况，要进一步巩固加强中职数学计算器的应用的教学：复杂的数字运算和常见函数的运算，因式分解,利用计算器预设的存储器进行函数运算以及利用sdat功能进行数据分析和预测等等。通过巩固拓展函数型计算器教学内容，为图形计算器进入课堂创造条件，进一步拓展中职计算器的教学。除了基本的计算器函数计算中职学生需要不断提升能力，以下计算器计算案例对提升中职生计算器应用能力非常重要。

案例一:银行贷款的有关计算。银行住房贷款年利率B, 贷款A元,C个月,按月复利计算,分期还款方式有两种,一种是等额本息,一种是等额本金.（所用计算器型号CASIO fx-82ES PLUSA）

1. 等额本息分期偿还.等额本息还款是每一期还款额X都是一样的,计算如下:A元,C个月, 年利率B，月还款额X元, 总的还款额M,总还利息款Y.:

B=6.55%, A=1000000元,C=240个月,应用计算器计算月还款额X,总的还款额M,总还利息款Y

计算器操作：Shift 9(Clr) 1(setup) =(yes) Shift 9(Clr) 2(memory) =(yes) 1000000 Shift rcl(sto) (-)(A) 0.0655 Shift rcl(sto) 。，，，(B)

240 Shift rcl(sto) hyp(C) Shift rcl(sto) )(X) 240X Shift rcl(sto) M+(M) 240X-1000000 Shift rcl(sto) sd(Y) alpha )(X)= 7485.2 (元)

alpha M+(M)= 1796447.27 (元) alpha sd(Y)= 796447.27 (元)

2.等额本金还款是不等息还款，每个月偿还本金相同,利息递减. 贷款A元,C个月, 年利率B，期数n,月还款额X元, 总的还款额M,总还利息款Y.:

第n期还款额X=

B=6.55%, A=1000000元,C=240个月,应用计算器计算月还款额X,总的还款额M,总还利息款Y.

计算器操作：第1个月还款X:Shift 9(Clr) 2(memory) =(yes) 1000000 Shift rcl(sto) (-)(A) 0.0655 Shift rcl(sto) 。，，，(B) 240 Shift rcl(sto) hyp(C) Shift rcl(sto) )(X) alpha )(X)=9625 (元)

第个240月还款X: Shift rcl(sto) )(X) alpha )(X)=4189.41 (元) 总的还款额M : Shift rcl(sto) M+(M) Shift rcl(sto) sd(Y)alpha M+(M)=1657729.17 (元) 总还利息:alpha sd(Y)=657729.17 (元)

案例二：利用计算器求解排列组合问题，解决实际问题。（所用计算器型号CASIO fx-991CN X）

1、校团委学生会准备从3位同学中任选2人担任举行的车展会志愿者，一个负责上午的工作，一个负责下午的工作，共有多少种不同的选法？

2、校团委学生会准备从3位同学中任选2人担任举行的车展会志愿者，共有多少种不同的选法？

3、校学生会准备从8位同学中任选3人担任举行的车展会志愿者，共有多少种不同的选法？

分析：1为排列问题，可用来表示，其结果为 种不同的选法．

2是组合问题，抽出的两人没有顺序之分，设这3个人为甲、乙、丙，则从中抽出2个的结果为甲乙、甲丙、乙丙， 一共3种不同的选法.

3是组合问题，抽出的3人没有顺序之分，有 =56种不同的选法.

计算器操作：3SHIFT×(nPr)2= (显示6)；3SHIFT÷(nCr)2= (显示3)；8SHIFT÷(nCr)3= (显示56)；

案例三：利用计算器求解一元二次方程，解决实际问题。（所用计算器型号CASIO fx-991CN X）

某工场根据以往销售经验得到下面关于生产和销售的规律：每生产某种产品 （百件）的总成本为 （百万元）（总成本由固定成本和生产成本构成），其中固定成本为2（百万元），每生产100件，生产成本为1（百万元）．

销售收入满足

假设该产品产销平衡，该厂生产这种产品能力为每月1000件．

（1）要使工厂有赢利，产量 应控制在什么范围？

（2）工厂要生产多少件才使赢利最多？

分析： 利润 总收入 总成本. 因此可根据收入函数减去成本得出利润函数，要使工厂有盈利，则要使利润大于0，由此列出不等式，解决第一问. 第二问则要求出最大利润，即利用二次函数的性质，求出函数的最大值.

（1）根据题意，利润为销售收入扣去生产总成本．

设工厂月生产 （百件），利润为 （百万元），则

.

所以

令 ，当 时，由 ，可得 ；

综上所述，产量大于100件时，工厂有盈利.

（2）当 时， .

因此当 时， ；

根据生产实际，该厂只需生产400件，赢利便可最多，为360万元．

计算器操作：菜单 8 2 2 -0.4= 3.2= -2.8= = = = =

案例四：利用计算器的统计分析功能对抽样调查的数据进行分析，帮助人们得出科学的结论。（所用计算器型号CASIO fx-82ES PLUSA）

杂交稻专家袁院士为了考察甲、乙两种水稻，从甲、乙两块实验田中，各任意抽取了10株水稻，测得株高（单位：cm）如下,分析哪种水稻长得比较好？

甲：78、79、89、82、79、9l、89、82、85、86

乙：76、90、86、87、82、83、85、86、81、84

分析:要考察哪种水稻长得比较好，显然平均数不能反映，需要考察的应是两组数据的离散程度，故需要求标准差．因为 ，所以乙种水稻长得比较整齐．

计算器操作：:Shift 9(Clr) 1(setup) =(yes) mode 2 1甲样本：mode 2输入数据 ac shift 1(stat) 4 2 = 显示： ac shift 1(stat) 4 4 = 显示:Sx=4.69乙样本：mode 2 1输入数据 ac shift 1(stat) 4 2 = 显示： ac shift 1(stat) 4 4 = 显示:Sx=3.82

案例五：利用计算器的统计计算功能对数据进行回归分析，帮助人们进行科学的预测。（所用计算器型号CASIO fx-82ES PLUSA）

以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：

根据上表中各组对应的数据，能否找到一种函数，使它比较近似的反应该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系，并预测该地区某校一男生身高175cm，体重是多少?

分析:

(1)线性回归 ：A=-25.31 B=0.4294 r=0.9649 预测y(x=175)=49.82

Shift 9(Clr) 1(setup) =(yes) Shift 9(Clr) 2(memory) =(yes) Mode 2 2

计算器操作：输入数据60= 70= 80= 90= 100= 110= 120= 130= 140= 150= 160= 170= 6.13= 7.9= 9.99=

12.15= 15.02= 17.5 20.92= 26.86= 31.11= 38.85= 47.25= 55.05=

Shift 1(stat) 1 2

ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 5=

(2)指数回归 A=2 B=1.02 r=0.9990 预测y(175)=63.09

计算器操作：ac shift 1 1 6 ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 5=

(3)乘方回归 A=9.95 B=2.1 r=0.9932 预测y(175)=51.85

计算器操作：ac shift 1 1 7 ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 5=

(4)二次回归 A=19.7 B=-0.43 C=0.0037预测y(175)=58.83

计算器操作：ac shift 1 3 ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 6=

(5)对数回归 A=-182.25 B=43.94 r=0.92预测y(175)=44.67

计算器操作：ac shift 1 4 ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 5=

(6)e指数回归 A=2 B=0.02 r=0.999预测y(175)=63.09

计算器操作：ac shift 1 5 ac shift 1 5 1= ac shift 1 5 2= ac shift 1 5 3= ac 175 shift 1 5 5=

根据相关系数的值,可以用指数回归反应该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系．该地区未成年男性身高175cm时，体重约为63.1kg．

案例六：利用计算器求解一元二次不等式，解决实际问题。（所用计算器型号CASIO fx-991CN X）

亮蝶服装有限公司生产外衣，每件定价100元，年销售100万件.该公司请代理商销售，代理商要收取代理费，代理费不能超过销售额的 .若代理费是销售额的 (即每件销售100元，收3元代理费)厂方须将每件衬衫价格提高为 元，而年销售量将会减少 万件.

(1)当代理费是销售额的 时，实际销售了多少件衬衫？

(2)当代理费是销售额的 时，代理商可以收取多少代理费？(精确到0.01万元)

(3)若厂方调整代理费占销售额的比例为 ，厂方将每件衬衫价格提高为 元，而年销售量将会减少 万件，若代理商每年收取代理费不少于7万元，那么代理费占销售额的比例应该控制在什么范围.

分析 (1)当代理费是销售额的 时，实际销售了 (万件).

(2)当代理费是销售额的 时，销售价格为 ，销售额为 .

代理费为 (万元).

(3)当代理费是销售额的 时，销售价格为 .

销售额为 . 代理费为 .

建立一元二次不等式模型 ，

整理不等式，得 ，解得 .

因为代理费不能超过销售额的 ，所以代理费占销售额的比例应该控制在 到 之间.

计算器操作：： 按菜单 选不等式 = 2 4 -62= -80000= -7000000= = 显示：

案例七：利用计算器求解矩阵问题，解决实际问题。（所用计算器型号CASIO fx-991CN X）

某学校去年四个季度的水费、电费和燃气费如下表所示(单位：元)．

学校提倡勤俭节约，力争在今年每个季度，三项费用都减少20%．请用矩阵表示出去年四个季度的水费、电费和燃气费，求出今年的各项计划费用，并求出各季度水电燃气计划费总合。

分析: 去年四个季度水费、电费和燃气费所对应的矩阵为

.

学校水费、电费和燃气费都要节约20%，就是各项费用都降至原来的80%.今年各项费用所对应的矩阵为

计算器操作： 菜单 4 1 4 3 36000= 33000= 26000= 42000= 62000= 35000= 28000= 26000= 22000= 44000= 64000= 36000= AC 0.8 × OPTN 3 =

学校今年四个季度的各项费用如下表所示(单位：元)

各季度水电燃气计划费总合矩阵B=

计算器操作：菜单 4 2 4 1 28800= 33600= 22400= 35200=

菜单 4 3 4 1 26400= 49600= 20800= 51200=

菜单 4 4 4 1 20800= 28000= 17600= 28800=

AC OPTN 4 + OPTN 5 + OPTN 6 =

不同型号的便携式计利用算器还可以解决很多实际的问题,需要我们不断探索整合,引导中职学生根据自身情况和实际的需要去探究。另外相信经过我们中职老师和学生的共同努力，图形计算器也会很快走进课堂，进一步提高中职学生的数学应用能力。社会的发展不仅需要科学家和大批能够应用数学工具的工程技术人员，也需要掌握一定数学计算能力的技术工人，手持计算器普及带来了希望。每一个公民在日常工作和社会生活会经常遇到需要数据处理的数学问题，便携式计算器就能够提高我们的数学应用能力,同时把我们从复杂的数据处理中解放出来，大大提高工作效率。

参考文献：上海市中等职业学校数学课程标准