一类三角问题的探究

一类三角问题的探究

刘辉 陈永杰

山东省平度第一中学 山东省平度市 266700

摘要：知道三角形一边及一角讨论三角形面积及周长的最值问题，条件设置灵活多变，解决方法上体现出数学中最基本的几种方法，对同学们的学习能力提高会有很大帮助。

关键词： 三角形，最值。

首先我们先看几个实例

1．已知在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知,a= .A=_求△ABC的面积的最大值

2、已知在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=2bcos B,b= .

(1)求角B,; (2)求△ABC面积的最大值.

3、设△ABC的内角Ahttp://www.%wln100.com )未来脑教学云平台@(、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 。

(1)求角A的大小；(2)若a=1，求△ABC周长的最大值．

以上几个问题设置情境不同，但有个共同特征，就是知道三角形的一边长度，以及直接（或间接）知道一个角的大小，求这个三角形的面积（或周长）的取值范围（或最值）。这类问题通常可以如下解（以第一题为例）

法1：根据正弦定理

,

法2：根据余弦定理

法3数形结合

点：

1. 求周长的最值或范围也可参照上述方法进行，不再赘述。

2. 此类问题，对知识方法的考查也较为全面，对能力的培养很有帮助，问题设置上较为灵活，既可以求面积（或周长）的范围也可以求最值，还可以改变成求三角形的高或外接圆的半径的范围等等。

3. 还可以在条件上进行灵活变化，如实例2，3，这些变化主要是改变边角的给出方式，还可以增加条件如△ABC是锐角三角形等。

下面题目可供对此类问题感兴趣的同学们参考

1．已知函数f(x)= cos 2x+2sin(+x)sin(π-x),x∈R.

(1)求f(x)的图象的对称轴及f(xhttp://www.w)ln100.com 未来脑教学?云平台|$)的单调递增区间;

(2)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,chttp:/%/www.wln100.|com 未来脑教学云平台*,且f(A)=- ,a=3,求BC边上的高的最大值.

2（2019年全国高考数学3卷） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．

（1）求 ；

（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．

3．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且m=(2a-c,cos C),n=(b,cosB),m∥n.

(1)求角B的大小;

(2)若b=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径.

4．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+ .

(1)求b的值;

(2)若cos B+ sin B=2,求a+c的取值范围.

5．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 。

(1)求角A的大小；

(2)若a=1，求△ABC周长的最大值．

6．已知在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosB,b= .

(1)求证:角A,B,C成等差数列;

(2)求△ABC面积的最大值.

7．已知在圆内接四边形ABCD中,AB=2,AD=1,BC=BDcos∠CBD+CDsin∠BCD.

(1)求∠BCD的值;

(2)求四边形ABCD的周长的取值范围.