复合函数零点个数问题的求解策略

复合函数零点个数问题的求解策略

杨金诺

黑龙江省伊春市第一中学 153000

摘要：复合函数的零点个数问题的求解一直以来作为数学学习的重要课题与问题，也是数学教学中的一个重要的知识点。复合函数的零点个数问题常作为学生考试的内容，属于考试范围中的重点与难点。因此，如何通过巧妙的策略与思想帮助学者能够更快的理清思路，辩证的看待问题，找到解决问题的方法成为了当前数学教学中亟需解决的问题。因此，本文主要通过论述复合函数零点个数问题求解的教学策略与目标，列举相关复合函数类型与例子，对如何进行复合函数零点求解提供解决策略，为日后数学教学的发展以及帮助学生提升数学解题能力提供借鉴，为国家人才的培养建设贡献自身的一份力量。

关键词：复合函数；零点；个数；求解策略；方法

引言：

在所有的学科门类中，数学是一门对学生考察抽象思维能力要求度极高的学科，经常需要学生能够辩证的看待数学问题，抽象的转化为其他问题进行论证，复合函数的零点个数求解问题更是如此，坐标法、图像法等无不要求学生能够充分的实现数形结合，将抽象的问题具体化，降低解题的难度。同时，对于复合函数零点个数求解不仅需要能够让学生学会做该类题，更是为了让学生领悟解题的思想与方法，面对类似的问题能够触类旁通，真正掌握解题的思想，这对于我国数学教学事业的发展来说具有重要的建设性意义。

一、基础预备知识

不同的版本对于函数f（x）的零点定义不同，但是本质是相同的。在人教版的教材中，其中对于方程f（x）的零点定义如下：一般是在函数y=f（x）中，将f（x）=0，解出此方程获得的实数根X就是函数y=f（x）的零点。这个零点也是f（x）=0的实数根。在图像上的表现是，当函数y=f（x）在直角坐标系中与横轴x有交点，那么就证明函数y=f（x）有零点，并且这个交点的x值就是方程f（x）=0的实数根。从人教版的定义来看，这个定义是具有概括性的。

同时课程中还有两个命题，这两个命题对于帮助找到复合函数的零点有重要意义，命题如下：

命题一：如果开始让方程f（x）=0，假设这个时候方程有m个不同的实数根，分别可以定义为X₁、X₂……X_m，并且令f（x）等于任意的X_i，i是在1到m的范围内，这个时候假设方程有Ni个不一样的实数根，这个时候则可以得出，函数f[f（x）]的零点个数为（N保留下标：1+N保留下标：2+……N保留下标：m）个。

命题二：如若f（x）=0存在m个不一样的实数根X₁、X₂……X_m，这个时候，存在方程g（x）=X_i，i是大于1小于m的范围，这个方程有N_i个不同的实数根，最终可以得出结论，函数y=f[g（x）]的零点个数有（N保留下标：1+N保留下标：2+……+N保留下标：m）个实数解。

在进行探究的时候，只需要解决外函数和内函数的不同的跟，再进一步根据命题来进行探讨，就能方便的对复合函数的零点个数进行求解。

二、内容分析

在高中的数学学习中，复合函数的零点问题是学生们经常头疼的问题，也是重要的数学难点与重点，常常以选择题、填空题甚至大题的一问的形式出现，对于复合函数零点问题的出现往往呈现出的规律是要么难要么易的形式，该问题涉及的数学内容与思想很多，也能够涉及到函数的各种性质，饱含丰富的数学思想。 复合函数的零点个数问题往往一个问题涉及到多个知识点，例如，在复合函数零点个数求解时，涉及到了其他数学思想包含函数的定义域求解、值域求解、函数的单调性问题以及函数的奇偶性问题等，这些思想都能够在该问题中得到很好的应用，这也要求着学生能够在充分掌握其他知识与思想的前提下进行解题。因此，学生们普遍感觉难以把握，并且对于题目中带有参数的零点个数求解，更是加大了解题的难度，同学们在面对这样的问题时，尤其一看到零点个数且带有参数，立刻失去了解题的信心。

三、教学策略及目标

学习复合函数的零点个数问题是建立在对复合函数理解的基础上，这个时候则需要对基本的复合函数知识和理论等进行复习，让学生充分了解相关的基础知识，在进一步结合一些定理、代数、数形结合等内容来进行解决。这个时候，让学生学习复合函数零点个数的求解问题可以让其从最基础的题入手，然后在进一步讲解不同类型题目的不同解决办法，比如：组合坐标系、流程图等方法，并进一步结合多媒体的动态演示，加强学生的印象。争取达到以下目标：

（1）学生可以利用数形结合的方法来解决复合函数零点问题。

（2）可以熟练运用解题方法来求解复合函数的零点问题。

（3）让学生体验函数和方程、属性结合、转化等重要的数学内容，培养学生的逻辑思维能力，提升学生的数学核心素养。

四、求解策略及例谈

（一）求解策略

1.流程图

求解复合函数和普通的函数不同，其中涉及“内”、“外”函数，所以求解复合函数的零点问题需要学生具备一定的思维能力。在复合函数求解过程中也经常会遇见分类讨论的情况，部分学生在分类讨论过程中往往不知如何分类，或者是在讨论过程中思维的逻辑性不强，导致无法获得满意的结果。利用流程图可以更好的进行分类讨论，有利于加强学生的思维逻辑。

2.图像法

图像法是数学解题的常见方法，复合函数往往是由初等函数嵌套组成的，其中包含着各种各样的参数，这个时候，学生只要熟练掌握初等函数的图像，通过对复合函数进行基本处理，就可以将其快速的展现在纸上，实现快速的求解。

（二）例题

例题：函数f（x）=X³-3X²+1，g（x）= 则求g（f（x））-a=0的实数根最多有几个。

第一步，认清本题的本质是符合函数求解，随后令f（x）=t，从内向外讨论。

第二步，画出y=g（t）的大体图形，如下图1.

图1

这个时候就可以看出，1和1.25是不同解个数的分界线。则流程图第一步为下图2：

图2

随后，根据t的范围，然后结合f=（x）的图像（如下图3），进行下一步流程图的绘制，

图3

这个时候就可以结合上一步流程图的t的范围，向后进行延伸，进一步分析就可以得出结果，总体的流程图为下图4：

图4

由于复合函数涉及的参数比较多，学生在讨论的过程中往往容易弄混，这个时候，学生如果画一个简易的流程图进一步结合函数的图像，那么这道题的分析就会变得更加的简单。

五、结束语

综上所述，复合函数中的零点求解的思想多样，方法与策略并不统一，对于该类问题求解的核心思想就是能够让学生充分发挥自己的抽象思维能力，将复杂的问题简单化，充分结合以往的知识与思想，快速地找到解题的思路。复合函数中的零点问题的求解具有一定的难度，这要求学生在解题时切不可心烦意乱，急于求成，对待问题的出现的信息要细心的理解，静下心来思考解题的方法。因此，复合函数的零点求解时对学生能力的一种考验，同时也能够充分锻炼学生的抽象思维能力，而解题的方法与思想也迫切需要学生掌握。

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