初中代数中双重否定的应用

初中代数中双重否定的应用

李灵

四川省西昌七中

数学教师在初中代数的教学过程中,经常觉得学过的知识,学生总是记不住，记住的过一段时间又忘了。现在的初中生,每天要学六七科,学习任务又重,而数学又有很多的知识要记，学生能抽出时间去记学过的所有知识，记住了又不忘记那是不可能的。老师单纯地认为学生学习不用心,学习不努力,怪学生记忆力不好，脑袋笨，是片面的。教师在教学的过程中,在要求学生理解的基础上,结合自己的教学经验和学生的具体情况,根据知识的特点,总结出一些好的记忆方法，让学生很快记住且不易忘记,而且能随时应用,这也不失为一种好的教学方法。如“双重否定”在初中代数中就有广泛的应用，对一个事件，经过两次否定，就是肯定。在初中数学中,有很多的知识,记忆和理解都比较困难,应用起来就更困难了，如果借用“双重否定”就是肯定的观点就会使一些数学问题变得很简单。来看下面“双重否定”在初中代数中的一些应用。

1. 在学习有理数时,老师问:“向西走-5米就是向东走多少米?”,学生难理解总是做不对，在老师讲解后,当时可能能做对，下次再遇到类似的问题，学主还是做不出来。老师在让学生理解的基础之上,可以让学生这样来理解：对“向西走-5米”进行双重否定，否定”向西“为”向东“，否定”-5“为它的相反数”5“，则”向西走-5米“的意思就是”向东走5米”。又如:把”零下7度”否定两次，否定“零下”变为“零上”，否定“7”变为-7“，”零下7度”就是“ 零上-7度”的意思。如果”零上7度“用正数”+7“表示，那么”零下7度”就用负数“-7”来表示.再如:”海拔-150m”是什么意思？对”海拔-150m”即”海平面以上-150m”否定两次，否定”海平面以上”变为”海平面以下”，否定“-150”变为它的相反数“150”,所以”海拔-150m”就是“海平面以下150m”的意思。

2、两个不等于零的因式相乘，可以用“双重否定”，任意改变两个因式的符号，积不变。如：a·(-b)=(-a)·b,就是对a·(-b)否定两次，否定a变为它的相反数“-a“，否定”-b”变为它的相反数“b”。如：（-a)·(-b)=a·b,就是 对 (-a)·(-b)否定两次，否定“-a“变为它的相反数“a”，否定”-b”变为它的相反数“b”。再如： (-a+b)·(-a-b)=(a-b)·(a+b),就是对(-a+b)·( -a-b)否定两次，否定“-a+b“改变各项的改变符号为它的相反数“a-b”，否定”-a-b”改变各项的符号为它的相反数“a+b”。

3、含有多重符号的数，利用双重否定，任意改变两个符号，值 不变。如-{-[-(-a)]}=+{+[-(-a)]}=-(-a)=+(+a)=a,注意正号可以省略。又 如-{+[-(-a)]}=+{+[+(-a)]}=-a注意正号可以省略。

4、有理数的加法运算与减法运算互为逆运算，可以利用”双重否定“相互转化。有理数的减法法则:“减去一个数,就等于加上这个数的相反数”,将减法运算变为加法运算时,就是对减法算式否定两次,否定“减号”变为“加号“，否定“减数”变为它的“相反数”.例如:”a-b“,否定 ”-“号变为”+”号，否定“减数b”,变为它的“相反数-b”,即：a-b=a+（-b）.同样，将加法运算变为减法运算时,也否定两次,否定”加“号得“减”号,否定“加数”变为它的”相反数“，所以”加上一个数，等于减去这个数的相反数“。如a+b,否定“+”号得“-”号，否定“加数b”得它的

”相反数-b“，.即a+b=a-(-b),这样，有理数的加减法就可以利用双重否定互相转化了。

5、有理数的乘除法互为逆运算，也可以利用”双重否定“相互转化。有理数的除法：”除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数“，也可以用“双重否定”来理解，除法运算变为乘法运算时,用“双重否定法”否定两次,否定“除”号变为“乘”号,否定“除数”变为它的”倒数“。即，a÷b=a· (b≠0),就是对a÷b否定两次，否定”÷“号变”·”号，否定“除数b”,变为它的“倒数 ”。如：7÷(- ),否定“÷”变为“_·”,否定（- ）变为它的倒数“- ”那么7÷（- ）=7·（- ）.同样，乘法也可以转化成除法:“乘以一个不等于零的数，等于除以这个数的倒数”。也可以用“双重否定”来理解记忆，乘法运算变为除法运算时,同样用“双重否定法”否定两次，否定“乘”号变为“除”号,否定“乘数”变为它的”倒数“。用字母表示a·b=a÷ (b≠0),就用了“双重否定”,否定“·”变为“÷”，否定乘数“b”变为它的倒数“ ” ,如9×(- )=9÷(- )，就是否定”·”变为”÷”,否定”- ”变为”- ”.这样,就可以利用”双重否定”的方法,根据运算需要，把乘除法进行相互转化，乘法化为除法,除法也可以化为乘法。

6、负整数指数幂与正整数指数幂，也可以用”双重否定“进行互化。负整数指数幂的意义:”任何一个不等于零的数a的-P(P为正整数)次幂,等于a的P次的倒数“,a = (a≠0).学生无论是理解还是记忆都比较困难,运用时老出错，如果采用“双重否定”,就变得特别简单,告诉学生这样来理解，在将“负整数指数幂”转化为“正整数指数幂“时,否定两次,否定.“底数”变为它的“倒数”,否定“负整数指数”变为“它的相反数”,这样,负整数指数就转化为正整数指数幂了。用字母表示为 =( ) (p≠0且p为正整数),就是对a (p≠0且p为正整数)进行“双重否定”，否定底数”a”变为它的倒数“ ”，否定指数“-p”变为它的相反数“p”.例如:(- ) =(- ) ,就是对(- ) 否定两次，否定底数“- ”变为它的倒数“- ”,否定负整数指数“-3”变为它的相反数“3”,这样运算就变得比较简单.如果用 = (p≠0)直接计算(- ） = = =- 就复杂得多.同样如果需要,正整数指数幂也可以转化为负整数指数幂.用字母表示为a =( ) (a≠0且p为正整数).例如( ) =（ ) 就是否定底数“ ”变为它的倒数“ ”,否定正整数指数“4”变为它的相反数“-4 ”.

7、在解直角三角形中,锐角的正弦与余弦、正切与余切也可以用“双重否定”进行互相转化。互余的两个锐角的三角函数的关系:锐角的正弦（或余弦）等于它的余角的余弦(或正弦)。锐角的正切(或余切)等于它的余角的余切(或正切),学生无论理解还是记忆都比较困难，如果使用“双重否定”来理解,一样变得特别简单。在锐角的正弦和余弦的互相转化过程中，告诉学生，同样否定两次，否定锐角的“正弦（或余弦）”变为锐角的”余弦（或正弦)”否定.”锐角”变为它的“余角”.在正切与余切的互相转化过程中,一样否定两次,否定锐角的“正切(或余切)”变为锐角的”余切(或正切)”,否定“锐角”变为它的“余角”。如sin75.5 =cos14.5 ,就是对sin75.5 否定两次，否定“sin”变为“cos”,否定锐角“75.5 “变为它的余角“14.5 :如cos49 =sin41 ,,就是对cos49 否定两次,否定“cos”变为“sin”,否定锐角“49 “变为它的余角“41_”，如tan39.4 =cot50.6 ,就是对tan39.4 否定两次，否定“tan”变为“cot”,否定锐角“39.4 “变为它的余角“50.6 :如cot75 =tan15 ,就是对cot75 否定两次,否定“cot”变为“tan”,否定锐角“75 “变为它的余角“15_.又如:在△ABC中,A+B=90,则cosA=sinB,就是对cosA否定两次，否定“cos”变为“sin”,否定锐角“A”变为它的“余角B”,再如：已知α为锐角,则tana=cot(90 -α),就是对tanα否定两次，否定“tan”变为“cot”,否定锐角“a”变为它的余角“90-a”.这样,利用双重否定就很轻松地对正弦与余弦、正切与余切进行相互转化。

以上初中代数问题，都是比较难理解，不易记住，而且应用时容易出现错误，如果利用”双重否定“的思考方法，学生不仅记得住，记住后也不会忘记，而且在运用”双重否定“来解决相关的数学问题时，会给学生的学习带来方便。

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