凸函数的性质及应用

凸函数的性质及应用

冶义哈

云南省开远市开远市第一中学 661600

摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。而凸函数则是其中重要的一类。本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。

关键词：凸函数 性质 应用

1.凸函数的概念与等价定义

1.1凸函数的概念

人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。

定义1.1.1([1])设 是定义在区间 上的函数,若对 上的任意两点 , ,常有 ，则称 为 上的凸函数。

定义1.1.2([2])若在定义 上成立不等式（ ≠ ）

，则称 是 上严格的凸函数。

1.2凸函数的等价定义

定义1.2.1设 在区间 上有定义， 在 上成为凸函数当且仅当对任意 , ∈ ,任意 ∈(0,1)有

若不等号反向，则称 为 上的凹函数。

若“≤”改为“<”，则称 为 上的严格凸函数。

2.凸函数的简单性质

在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。

定理2.1([4])设 在区间I上为凸函数，对任意 ，则:

时， 在区间上为凸函数， 时， 在区间上为凹函数。

定理2.2([5])设 ， 是间I上的凸函数，则其和 也是I上的凸函数。

定理2.3([6])若设 ， 是间I上的凸函数，则 为I上的凸函数

定理2.4([7])设 是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数 也是凸函数

定理2.5设 为区间I上的凹函数， ，则 为区间I上的凸函数，反之不真。

3.凸函数的判定定理

利用凸函数的定义判别函数 是否为凸函数，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于应用的判别方法。

定理3.1若函数 是区间 上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数 是 上的一个凸函数。

定理3.2若 在间 上存在，则 在 上成为凸函数的充分必要条件是：在 上

4.关于凸函数的几个重要不等式

4.1不等式

定理4.1.1（凸函数的基本不等式）设 是间 上的凸函数，则对 中任意 个数 成立不等式 ，当仅当 时等号。

定理4.1.2（[8]）（积分不等式）若 是 上的连续凸函数，而 与 是 上的连续函数， ，则成立

4.2不等式

定理4.2.1（[9]）（不等式）设 是 上的连续凸函数，则 .

5凸函数的应用

5.1凸函数在证明不等式中的应用

在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。

5.2一般凸函数和凸集

定理5.2.1集合 为凸集的充分必要条件是 ，及任意数 有 .设函数 定义在凸集 上，其中，

5.3广义凸函数求极小的问题

定理5.3.1([12])设 为凸集， 为强拟凸函数，若如下规划问题存在最优解： ,则 的最优解必唯一。

定理5.3.2([13])设 为凸集， 为拟凸函数，则问题

的最优解集合为凸集。

5.4广义凸函数求极大的问题

考虑 中 为闭凸集，而 为广义凸函数。

定理5.4.1([14])设 为闭凸集， 为连续的严格拟凸函数，则规划问题 的最优解一定在 的边界上达到，除非 在 上为常数。

定理5.4.2设 为连续的严格拟凸函数，并约束集合

，若规划问题 的最优解存在，则 的最优解可以在 的顶点达到。

参考文献

[1]裴礼文，数学分析中的典型问题和方法[M]，北京：高等教育出版社，1993.5.

[2]刘玉链，数学分析讲义，北京：高等教育出版社，2003.7.