设置“问题串”培养学生数学思维能力

设置“问题串”培养学生数学思维能力

程晓峰

河南省濮阳市第一中学 河南省 濮阳市 457000

摘要：众所周知，题海战术不可取，要想从题海战术中解脱出来，并形成很强的解题能力，“一题多变”是行之有效的方法。本节课从典型例题中设置“问题串”，由浅入深，设置台阶，层层递进，适当变式引导学生学会总结提升思维品质。

关键词：数学；思维能力；解题能力

问题：已知关于x的二次函数y=x²+mx的图象经过原点O，并且与X轴交于A，对称轴为直线x=1.

1. 常数m=___,点A的坐标为___.

(2)当n为何实数时，关于x的方程x²+mx=n有两个不相等的实数根

(3)若关于x的一元二次方程x²+mx-k=0在-2

解题后发现，利用图象分析，再结合函数表达式求解很直观，而且不易出错，就应了华罗庚先生对“数形结合”的阐述：“数与形本相倚依焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好.隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离”.

进一步思考：将本题的条件稍加改动：

问题1.同学们你能由y=x²+mx的图象得到y=|x²+mx|的图象吗？

渗透绝对值的意义.

问题2.若关于x的方程|x²+mx|=k有两个实数解，则k的取值范围是___.

问题3.你能否利用y=|x²+mx|的图象分析方程|x²+mx|=k的解的情况？

提示：①.k___时，有两个实数解.

②.k___时，有三个实数解.

③.k___时，有四个是疏解.

问题到这里，同学们更能体会“数形结合”在解题时的简便应用，能使解题更便捷，渗透解题方法之美！接下来把问题再引深：

问题4.你认为|x²+mx|=x的解的几何意义又是什么呢？（学生能回答），观察图象y=|x²+mx|与y=x的交点横坐标：

方程|x²+mx|=x有___个解，分别是_________________

问题5.方程|x²+mx|=x+b解的个数与___的取值有关.

问题6.请你分析方程|x²+mx|=x+b的解的情况：

跟踪练习：

例题：已知△PAC中,∠C=90⁰ ，∠A=30⁰,B是AC上一点，

∠PBC=60⁰，AB=500，试求线段PC的长度.本题是初中数学教材中常见的一个问题，有两种解法，其中一种是典型的方程模型解决图形问题。在教学中我赋予它情境，让其生活化。

情境一：PC是一根旗杆，某人先站在A点处看旗杆顶部，仰角∠A=30⁰，然后向旗杆方向走了500米到B处，再看旗杆顶部，此时仰角∠PBC=60⁰，则旗杆的高度是多少米？

情境二：如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60⁰方向上，在A处正东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东450方向上，则灯塔P到环海路的距离PC有多少米？

在例题环节的教学中，稍作改变，学生的状态、参与度、学习热情有明显的变化积极表达到位。引发我的思考：在数学教学中，联系实际的教学能让学生从生活中发现数学、创造数学、运用数学，在此过程中不但可以获得足够的信心，还可以培养提高抽象思维能力，丰富数学活动经验；另外，将数学和生活进行紧密联系，将抽象的数学对象和感性的现实生活联系起来，使得抽象的数学获得直观，感性的整体意义；对数学的学习由具体到抽象、由特殊到一般、由表象到本质，从而有利于学生对数学知识的理解和掌握；第三，将枯燥的纯数学问题赋予生命，从而可拉近与学生间的距离，增强学生对数学知识的应用意识.

近几年都是几何综合——类比、拓展探究和动点问题。例题（2015年河南第22题）

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D,E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为 .

（1）问题发现

① 时， ；②当 时， .

（2）拓展探究

试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

（3）问题解决

当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

在教学中，为了帮助学生理解题意，易于分析问题，我们用几何画板让图形动起来，化抽象为具体，从而体会变化中的不变因素。3节课下来，同学们兴趣盎然，甚至有的孩子要学习用几何画板作图，激起了孩子们的学习热情。解决动点、折叠、对称、旋转等动态几何问题有了这个工具很是省时省力。可是问题又来了：当孩子们自己做题，没有图形演示的过程时，却有一大部分孩子出现无从下手.有辅助工具很直观、形象时解题很快；离开了辅助教学就不去分析思考，甚至不愿自己解决难题，产生了对辅助工具的依赖.针对这种现象我在思考：（1）有利于设置良好的教学情境；由瑞士心理学家皮亚杰提出的建构主义认为：世界是客观存在的，由于每个人的知识、经验和信念的不同，每个人都有自己对世界独特的理解。知识并非是主体对客观现实的、被动的、镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。建构主义要求学生在情景交互中直接获得知识，并建立和构造了自己的知识库。可见，在教学中创设一个良好的教学情境是相当重要的。

2. 有利于体现数形结合的思想。华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话不但深刻地揭示了数学中数与形之间的依存关系，而且还体现了辩证唯物主义的思想。把数形结合的思想贯彻于数学学习过程的始终是学好数学的关键之一；(3)体现这个工具的辅助作用，把握好度教会孩子思考，促使我们教学中不断思考相得益彰。案例背景：刚刚过去的全市毕业考试试卷有这样一道题，讲评的时候做了这样的处理。原题：在矩形OABC中，点A的坐标为（0，-2），D为OC的中点.顶点坐标为（2，-6）的抛物线过A、B两点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）.当点P运动到何处时，△PBC的周长最小？求出此时点P的坐标和△PBC的周长; 这个问题是一个典型的数学模型，即在直线l上求作一点P，使点P到l同侧两点A、B的距离之和最小；可是相当一部分学生仍然感觉有难度，真的很难吗？为了突破难点掌握这个模型的应用，我做如下处理：方式上，让学生来分析；再引申、拓展、归纳

变式1，点P(m,n)关于坐标轴的对称点；

变式2，点P(m,n)关于y=x，y=-x的对称点；

变式3，点P(m,n)关于y=kx+b的对称点.到变式3时有难度，再强化轴对称的概念、特征.于是产生了多种做法：学生1，用勾股定理建立方程；学生2，用两条直线互相垂直，斜率的积等于-1，解析法求解；学生3，构造相似三角形；学生4，用锐角三角函数的知识.真的是很活跃，碰撞出思维的火花，给你一个个惊喜。最后化归为数学模型：已知直线l及同侧两点A、B,在直线l上求作一点P，使PA+PB的值最小.再让学生用这个模型自编题目，收到很好的效果.反思这样的设计谈所得：

几点思考：

初中数学学习渗透了八个思想方法，需要把实际问题在数学中搭台渗透；默化：对于这道题的分析分析与变形有以下启示：

1. 立足教材，夯实基础：教材中的许多例题，习题都可以通过延伸，类比，迁移，衍生出一些新的命题，学习中要立足教材，对教材中的例题、习题进行挖掘，变式和拓展，重视基础知识、基本职能和基本方法的训练，提炼出解决问题的数学思想方法，注意构建知识结构，做到举一反三、触类旁通，进而达到“做一题，得一法，会一类”的效果，切实提高运用所学知识解决具体问题的能力；并让学困生有得吃，也让学优生吃得饱。

2. 由浅入深，提升能力：解数学题的巧妙之处，不但要一题多解，要注意加强“多解归一”的训练，引导学生进行解体后的反思，对不同方法进行比较和讨论，这样做不仅有利于提高解题能力，而且有助于培养自己斯文的广阔性和灵活法。

3. 搭台搭阶，体现创新之美，在课堂教学中，要积极探索，在成功的基础上探索更深层次的问题，在掌握知识和技能、思想与方法的同时，积累数学活动经验，从而提高数学素养，促进创新意识的培养，而且提升学生思维的深刻性。

参考文献：

[1]卢小红. 初中生数学思维能力培养研究[D].华中师范大学,2016.

[2]张欣. 中学数学思维培养的分析与探究[D].海南师范大学,2016.