法向量在立体几何教学中的应用

法向量在立体几何教学中的应用

杨新华

辽宁省朝阳市喀左县第四高中

摘要：在高中阶段立体几何方面教学当中对法向量进行运用，可以促使教学效果不断提升，同时对高中生的解题思路进行有效拓展，促使高中生的解题能力不断提升。如今，法向量已经变成对空间几何有关问题进行解决的重要工具，可以把复杂知识进行简单化，进而对问题加以有效解决。基于此，本文在分析立体几何方面教学当中法向量的应用现状的基础上，对立体几何方面教学当中法向量的应用展开探究，希望能对实际教学有所帮助。

关键词：高中数学；立体几何；法向量

前言：针对学生而言，高中时期的数学知识存在较大的学习难度，因为知识具有较强的理论性、抽象性以及逻辑性，致使高中生很难对所学知识进行理解以及掌握，进而对其学习效率较大影响。尤其是立体几何有关内容的抽象性非常高，要求高中生具备较强的空间思维，这样才可对立体几何有关知识进行掌握，对空间问题进行求解。向量法是对空间几何有关问题加以解决的有效方法，通过法向量，可以对问题进行简单化，进而对问题加以有效解决。这样一来，可以提升高中生的解题速度以及准确率，促使其解题效率以及学习效率不断提升。

一、立体几何方面教学当中法向量的应用现状

（一）轻视法向量

在数学教材当中，和法向量有关的内容并未得到重视，实际教学期间，数学教师常常忽视这些内容，致使高中生并未对法向量进行根本认识。高中生对知识进行学习这个过程其实就是一个认知过程，数学教师在此期间应当发挥出自身具有的启发性以及引导性这一作用。假设教师对此并未加以重视，必然会对教学效果产生影响^[1]。为此，数学家傲视需有意识去引导高中生对法向量进行学习以及应用，进而提升其解题能力。

（二）忽视法向量

尽管高中时期的数学教学已经引入空间现象有关概念与知识，同时降低了教学难度，然而在平面法向量的具体应用当中依然出现一些尴尬局面。因为文本内容缺失致使不少教师把这些知识一语带过，高中生并未对此加以重视，致使法向量难以发挥出真正作用^[2-3]。而且，数学教师在对法向量加以介绍之时，描述非常简单，不仅没有对其求法进行介绍，而且也灭有对其具体应用加以详细概述，致使高中生无法对概念进行透彻理解，更加无法对法向量进行有效运用，进而对其解题效率以及准确率造成较大影响。

二、立体几何方面教学当中法向量的应用

（一）平行和垂直关系的证明当中法向量的应用

如 图所示，在一正方体 当中，E点和F点分别是 和 的中点，证明： ⊥平面 .

分析：针对此题，可以构建一个空间直角坐标系，通过向量，同时把向量运算变成实数运算，进而达到最终证明目的。

证明：假设2是正方体每条棱的长度，以C点为坐标原点，CD所在边为x轴，CB所在边为y轴，CC₁所在边为z轴，构建一个空间直角坐标系。进而能够得到A（2,2,0），C（0,0,0），B₁（0,2,2），E（0,2,1），F（1,1,2）.

进而可得 =（1，-1,1）， =（-2，-2,0）， =（-2,0,2），

而 · =（1，-1,1）·（-2，-2,0）=-2+2+0=0；

· =（1，-1,1）·（-2,0,2）=-2+0+2=0；

因此可知 ⊥ ，同时 ⊥ ，

又因为 ∩ =A，所以EF⊥平面 .

（二）角度问题当中法向量的应用

如 图所示，在多面体 当中，四边形 以及 全都是正方形，，点E是 的中点，而过 、 、 的平面与 相较于点F。那么，求二面角 的余弦值。

解：按照题意，能够构建空间直角坐标系，具体如上图所示。

设 ，那么可以得到 ， ， ， ， ，.

设 ，根据定比分点这个公式能够得到： ， .

有因为 ，令 ，可以得到： ，进而可以得到 ，因此 .

又因为 ， ，所以 和 夹角与二面角 的平面角相等。

根据 .

因此可以知道二面角 的余弦值是 .

结论：综上可知，在高中时期的立体几何方面教学期间，法向量具有一定灵活性以及优越性，如今已经被多数教师认可以及运用。然而，几何教学期间，数学教师需对法向量加以科学运用，不能太过强调向量的机械运算，不能忽视几何本身，教师应当通过多种向量方法引导高中生解答几何问题，逐渐提升高中生对于空间几何的整体理解能力，促使其解题能力不断提升。

参考文献：

[1]张锐利. 浅谈向量在立体几何证明中的三点应用[C]. 中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会.2019全国教育教学创新与发展高端论坛论文集（卷七）.中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会：中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会，2019：39-41.

[2]武俊兰.向量在解析几何中的作用[J].长治学院学报，2014，31(02)：60-63.

[3]凌启圣.浅谈如何使用法向量求解立体几何中的角与距离[J].淮南师范学院学报，2011，13(05)：130-132.