从2020年高考导数解答题谈谈如何备考

从 2020 年高考导数解答题谈谈如何备考

饶 艳 刘清华

云南省昭通市第一中学 657000

摘要：导数的考查又主要以函数为载体，在全国各省市的高考中基本都以压轴题的形式出现，难度较大，基本已经成为了很多同学的噩梦和答题的禁区，今天我们就一同来分析、进一步认识导数综合试题，并在教学中能带领学生一起分析高考高考试题，帮助学生克服心理上、方法上、计算上的难关。

关键词：函数 导数 分类讨论 不等式

一、 高考试题分析

纵观近几年各地高考试题，众多关于导数应用方面的试题无论是题型的设计，还是能力的立意，理性思维的考查等都能给人面目一新之感。在高考命题时，强调导数与函数、不等式、数列，以及向量、圆锥曲线等主干知识点的整合、创设问题情境，重视多种信息的加工，同时，对能力的考查，仍以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，强化对素质教育的正确导向^【1】。

尽管年年高考不断变化，不断将题型推陈出新，经过多年的收集和整理，不难发现导数与函数综合问题主要可以分为以下几类：

1. 三次函数综合考查问题

（2020年全国3卷）设函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直．

（1）求 ；（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．

2. 指数函数与一次函数或二次函数的综合问题；

高考扫描：（2020全国1卷）

已知函数 ．（1）当 时，讨论 的单调性；

（2）当 时， ，求 的取值范围．

2. 对数函数与一次函数或二次函数的综合问题；

3. 指数与对数相结合的问题；

4. 三角函数与二次、指数、对数函数问题相结合考查的问题；

高考扫描：（2020年全国2卷）

已知函数 ．

（1）讨论 在区间 的单调性；

（2）证明： ；

（3）设 ，证明： ．

2. 备考策略

在形形色色的考题中，发现高考还是注重基本方法、基本原理的考查，所以我们在平时的复习中要善于带领学生一起总结归纳常见的答题方法，函数与导数综合试题主要考查单调性、极值、最值、恒成立或存在、不等式综合问题等，下边我们一起来看一下常见问题的具体处理办法：

1. 指数函数和对数函数结合巧分离、巧设零点

此类题目在近几年高考中有加强趋势，难度较大，这类题目通常分离指数和对数到等式的两边，不能盲目的求导，甚至二次求导。有时如遇零点不易求出，我们还需要果断假设零点，如2013年高考新课标全国2卷.

典例：设函数 。

(1) 讨论 的导函数 零点的个数；(2)证明：当 时， 。

解析：(1)由 ，得 。

当 时， 没有零点；当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增。又 ；当 满足 且 时， 。

故当 时， 存在唯一零点。

(2)由(1)，可设 在 的唯一零点为 。当 时， ；当 时， 。故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值 。

由于 ，所以 (当且仅当 ，即 时，取“=”)。所以，当 时， 。

大家注意此题第二问的处理，知道导函数中知道零点的存在，但是解不出来，我们可以巧妙的设零点为 ，然后结合 分别消去指数和对数，然后转化为基本不等式处理。

4. 函数零点问题不忘数学结合思想

典例：已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a， .若对任意给定的x₀∈(0，e]，在(0，e]上方程f(x)＝g(x₀)总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．

解析：　g′(x)＝e^1－x－xe^1－x＝(1－x)e^1－x，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；

当x∈(1，e]时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝0，g(1)＝1，g(e)＝e^2－e＞0，

∴函数g(x)在(0，e]上的值域为(0,1]．方程f(x)＝g(x₀)等价于(2－a)(x－1)－g(x₀)＝2ln x，令p(x)＝(2－a)(x－1)－g(x₀)，则p(x)过定点(1，－g(x₀))，且－1≤－g(x₀)＜0，令t(x)＝2ln x，由p(x)，t(x)的图象可知，要使方程f(x)＝g(x₀)在(0，e]上总存在两个不相等的实根，需使在(0，e]上恒成立，

即(2－a)(e－1)－g(x₀)≥2ln e＝2，∴a≤2－，∵0＜g(x₀)≤1，∴_min＝2－，∴a≤2－.综上所述，a的取值范围为.

完整的解决此题，需要兼顾参数 与 之间的关系，本题巧妙的运用直线的点斜式方程将二者练习了起来，在运用数形结合思想处理两个实根的问题，本来函数、方程、不等式就是一个不可分割的整体，做题时一定要注意这三者之间的联系。

4. 三角函数综合问题尽量巧放缩

典例：设函数（1）求证：当时，

2. 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

解析：

（1） 设 则 当 时， 即 为增函数，所以

_{（2）由（1）知当} 时，_所以

_{设则设则当时，为增函数，所以所以为增函数，}

_{所以所以对任意的恒成立。}

_{又，时，所以当，对任意的恒成立。}

_{当时，设则}

_{所以存在实数使得对任意的时所以时不符合题意。}

_{综上，实数的取值范围为}

_{此题巧妙的运用我们熟悉的基本初等函数进行放缩，再如今年新课标全国3卷21题，还巧妙运用了三角不等式进行放缩，对于此类问题，我们要不断的收集常见的放缩方法，如常见的时，当时，等丰富自己做题的经验，才能做到有备无患。}

【1】黄丽生，与主干知识整合，综合考察导数应用能力[J].试题与研究，2006/7

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