一题多解，全方位突破

一题多解，全方位突破

翁丹云

福建省莆田市涵江华侨中学 351111

在数学解题中，一个题目往往有多种解法，题目的精髓在于如何寻求各个突破口？我以一题简单的题目入手，分析各种解法的突破口。

原题呈现：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4，求AB+AC的最大值

方法一：把AB、AC移到同一直线上，利用定弦定角辅助圆求最大值

解：如图，延长BA到D，使得AD=AC，则AB+AC=BD

∵BC=4，∠BAC=60°

∴∠D=∠ACD=30°

那么点D在以BC为弦，圆心角为60度的圆上

那么即BD为圆的直径为，BD最大

这时∠BCD=90°，BD=8

∴AB+AC的最大值为8

方法二：把AB、AC移到同一直线上，利用斜大于直求最大值

解：如图，延长BA到D，使得AD=AC，则AB+AC=BD

过点B作BE⊥CD，垂足为E

∵BC=4，则BE≤4

∵BC=4，∠BAC=60°

∴∠D=∠ACD=30°

∴AB+AC=BD=2BE≤8

即AB+AC的最大值为8

方法三：构造等边三角形，利用斜大于直求最大值

解：如图，以AB,AC为边向外构造等边△ABD和等边△ACE，过B作BM⊥AD于M，

过C作CN⊥AE于N,则MN≤BC,即MN≤4

∵∠ABM=30°，∠CAN=30°

∴AB=2AM,AC=2AN

则AB+AC=2(AM+AN) ≤8

即AB+AC的最大值为8

方法四：构造等腰三角形逆等线，利用逆等线性质求最大值

解：如图，以A为顶点向外构造等边△AMN，过点B作BD⊥MN于D,过点C作

CE⊥MN于点E，

设AB=a，AC=b，∴BM=b,CN=a,MN=a+b,

∵∠MBD=30°，∠NCE=30°

∴MD=0.5a,NF=0.5b

∴DE=0.5(a+b) ≤BC

则a+b ≤8

即AB+AC的最大值为8

方法五：平时善于归纳，总结一般规律：遇定弦定角问题，当三角形为等腰三角形时，其他两边长和最大。

证明：延长BA到E,使得AC=AE，取优弧BC中点D，连接DB,DC，DA

∵DB=DC

∴∠DBC=∠DCB

∵∠DAB=∠DCB

∴∠DBC=∠DAB

∵∠DBC+∠DAC=180°，∠DAB+∠DAE=180°

∴∠DAC=∠DAE

∵AD=AD

∴△DAC≌△DAE

∴DC=DE

在△DBE中，AB+AC=AB+AE≤DB+DE

即AB+AC≤DB+DC

∵∠BDC=∠BAC=60°，∴△DBC是边长为4的等边三角形

即AB+AC的最大值为8

方法六：几何问题代数解，数形结合到实处

解：过点C作CD⊥AB于D，设AC=x,由于∠A=60°，所以AC=2x,

根据勾股定理得

设y=AB+AC=

∴

两边同时平方得

∴

△=

即 而y＞0

∴y≤8

即AB+AC的最大值为8

方法七：对于部分学有余力的同学已以预习过高中的三角函数知识，可以用三角函数来解题

解：由余弦定理得

(均值不等式 )

又∵b+c＞0

∴b+c≤8

即AB+AC的最大值为8

数学解题总是一个学习—-钻研---提升的过程，解题精髓在于不断突破，不断总结，不断提高。一题多解打破原来思维的局限性，多个方面寻求突破口，再难的问题也能迎刃而解。