福建省莆田市涵江华侨中学 351111
在数学解题中,一个题目往往有多种解法,题目的精髓在于如何寻求各个突破口?我以一题简单的题目入手,分析各种解法的突破口。
原题呈现:如图,在△ABC中,∠BAC=60°,BC=4,求AB+AC的最大值
方法一:把AB、AC移到同一直线上,利用定弦定角辅助圆求最大值
解:如图,延长BA到D,使得AD=AC,则AB+AC=BD
∵BC=4,∠BAC=60°
∴∠D=∠ACD=30°
那么点D在以BC为弦,圆心角为60度的圆上
那么即BD为圆的直径为,BD最大
这时∠BCD=90°,BD=8
∴AB+AC的最大值为8
方法二:把AB、AC移到同一直线上,利用斜大于直求最大值
解:如图,延长BA到D,使得AD=AC,则AB+AC=BD
过点B作BE⊥CD,垂足为E
∵BC=4,则BE≤4
∵BC=4,∠BAC=60°
∴∠D=∠ACD=30°
∴AB+AC=BD=2BE≤8
即AB+AC的最大值为8
方法三:构造等边三角形,利用斜大于直求最大值
解:如图,以AB,AC为边向外构造等边△ABD和等边△ACE,过B作BM⊥AD于M,
过C作CN⊥AE于N,则MN≤BC,即MN≤4
∵∠ABM=30°,∠CAN=30°
∴AB=2AM,AC=2AN
则AB+AC=2(AM+AN) ≤8
即AB+AC的最大值为8
方法四:构造等腰三角形逆等线,利用逆等线性质求最大值
解:如图,以A为顶点向外构造等边△AMN,过点B作BD⊥MN于D,过点C作
CE⊥MN于点E,
设AB=a,AC=b,∴BM=b,CN=a,MN=a+b,
∵∠MBD=30°,∠NCE=30°
∴MD=0.5a,NF=0.5b
∴DE=0.5(a+b) ≤BC
则a+b ≤8
即AB+AC的最大值为8
方法五:平时善于归纳,总结一般规律:遇定弦定角问题,当三角形为等腰三角形时,其他两边长和最大。
证明:延长BA到E,使得AC=AE,取优弧BC中点D,连接DB,DC,DA
∵DB=DC
∴∠DBC=∠DCB
∵∠DAB=∠DCB
∴∠DBC=∠DAB
∵∠DBC+∠DAC=180°,∠DAB+∠DAE=180°
∴∠DAC=∠DAE
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴DC=DE
在△DBE中,AB+AC=AB+AE≤DB+DE
即AB+AC≤DB+DC
∵∠BDC=∠BAC=60°,∴△DBC是边长为4的等边三角形
即AB+AC的最大值为8
方法六:几何问题代数解,数形结合到实处
解:过点C作CD⊥AB于D,设AC=x,由于∠A=60°,所以AC=2x,
根据勾股定理得
设y=AB+AC=
∴
两边同时平方得
∴
△=
即 而y>0
∴y≤8
即AB+AC的最大值为8
方法七:对于部分学有余力的同学已以预习过高中的三角函数知识,可以用三角函数来解题
解:由余弦定理得
(均值不等式 )
又∵b+c>0
∴b+c≤8
即AB+AC的最大值为8
数学解题总是一个学习—-钻研---提升的过程,解题精髓在于不断突破,不断总结,不断提高。一题多解打破原来思维的局限性,多个方面寻求突破口,再难的问题也能迎刃而解。