小议数列求和的常用方法

小议数列求和的常用方法

吴长理

北京师范大学贵安新区附属学校

数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，体现化归和转化的思想，具有综合性强，解法灵活的特征，因而成为高考的中档题或压轴题，这是重点也是难点。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，数列求和常见的方法有：倒序相加、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等， 下面举几个例子简单的谈谈数列求和的基本方法和技巧：

1. 公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1. 差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、 4、

5、

例 1、数列 的前n项和为( )

（A）（n2+n+2)-

（B） n(n+1)+1-

（C） (n2-n+2)-

（D） n(n+1)+2(1- )

分析∵an=n+ （分组求和与公式法）

∴Sn=(1+2+…+n)+( )

∴选A.

例2、已知 ，求 的前n项和.

解：由

由等比数列求和公式得 ： ＝ ＝ ＝1－

注：如果计算过程中出现关于n的多项式是等差或等比的求和形式，可以直接利用公

式求解。

二、错位相减法（在推导等比数列的前n项和公式时的思想）

当一个数列的项是由等到差数列和等比数列对应项相乘而得到时通常用错位相减法转

化为等比数列求和。即求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列

和等比数列。

例3、已知数列{a_n}是首项、公比都为q(q＞0且q≠1)的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n(n∈N*).

当q=5时，求数列{b_n}的前n项和S_n;

解：根据题意得a_n=q·qn-1=qⁿ,

∴bn=a_nlog₄a_n=qnlog₄qⁿ=n·5ⁿ·log₄5,

∴S_n=(1×5+2×5²+…+n×5ⁿ)log₄5,

设Tn=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ ①

则5Tn=1×5²+2×5³+…+(n-1)5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹ ②

①-②得:-4Tn=5+5²+5³+…+5ⁿ-n·5ⁿ⁺¹

-n·5ⁿ⁺¹,

∴ Tn= (4n·5ⁿ-5ⁿ+1),

∴ Sn= (4n·5ⁿ-5ⁿ+1);

注：在写出S_n与qS_n的表达式时，要特别注意将两式“错位对齐”。

例4、求数列a,2a²,3a³,4a⁴,…,naⁿ, …(a为常数)的前n项和。

解：若a=0, 则S_n=0

若
a=1,则S_n=1+2+3+…+n=

若a≠0且a≠1

则S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+ naⁿ

∴aS_n= a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹

∴ (1-a) S_n=a+ a²+ a³+…+aⁿ- naⁿ⁺¹

=

∴S_n=

当a=0时，此式也成立。

∴S_n=

注：数列 是由数列 与 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），错位相减过程比较复杂，对计算能力要求高。

三、倒序相加（当一个数列中距首末两项“距离”相等的两项之和为常数时，一般用倒序相加法求和）

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个 。

例5、 求证：

证明： 设 …………………①

把①式右边倒转过来得

又由 可得

…………②

①+②得

∴

注：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

四、分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例6、求和12-22+32-42+…+(-1)n-1n2.

解：当n是偶数时，

Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］

=-［3+7+11+…+(2n-1)］

当n是奇数时，

Sn=12+(-22+32)+(-42+52)+…+[-（n-1)2+n2]

=1+[5+9+13+…+(2n-1)]

综 上可得Sn=(-1)^n-1

五、裂项法求和

裂项相消法中，“裂项”是手段，“相消”是目的，所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“分裂”成一个常数与两项差的积.裂项后在抵消时有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。常见的有如下：

（ 1） （2）

（3） （4）

（5）

(6)

例7、求数列 ， ， ，…， ，…的前n项和S_n

解：∵ = ）

S_n=

=

=

注：裂项法的实质是将数列中的每项（通项裂项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

六、合并求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

例8、 数列{a_n}： ，求S₂₀₀₂.

解：设S₂₀₀₂＝

由 可得

……

∵ （找特殊性质项）

∴　S₂₀₀₂＝ （合并求和）

＝

＝

＝

＝5

七、拆项求和

先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例

n

解

n

所

n

=

=

=

解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

另外：S_n=

可以拆成：S_n=（1+2+3+…+n）+( )

数列求和不仅是以上方法，要熟练掌握基本题型，要会写出精炼的解题步骤，

综合题的解答过程一般比较长，评分主要是看得分点（关键步骤），还特别要根据

数列的特点找适合最佳方法。

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