数 的计算

数 的计算

孙显才

云南省昆明市禄劝县第一中学 651500

摘要 本文用单调有界准则与夹逼准则的极限方法研究数 的计算。

关键词 高等数学 递推数列 三角函数

_问题 计算数_。

_{分析 研究对象是无限维一般属于高等数学范畴，若从初等数学方面思考，须寻求规律，求出超越式的通项公式进行研究；若从高等数学反面入手，该问题属于级数论研究范畴。下面与读者分享我的看法。}

法一：解方程法

运用方程思想，即通过分析问题中已知与未知的等量关系，建立方程，运用方程性质转化问题，从而解决问题的思维过程。

令 ，则

通过构造，式

转化为递推数列，利用特征根求解，即

解得

此法前提是： 存在

评析 如果从初等数学的角度解决此超越式，利用递推数列相关知识解决，显然利用初等数学方法解决，过程不太严谨，缺少严格的论证；如果学习数学只是机械化地照搬套用，不知其所以然，那意义何在？学习科学知识不能人云亦云，要这样学，那和信迷信有何区别？科学精神要求我们敢去刨根问底，为此，应以严谨的方式去论证，我们须不断完善解题过程。受解法一启示，求出递推数列 具体的通项公式进行求解，可以提高求解过程的严谨性，充分体现数学思维的科学性。

_{法二：三角函数转化极限法}

；

评析 本质和现象是揭示客观事物内部联系和外在表现相互关系的范畴，二者对立又统一，没有脱离本质的现象，也没有脱离现象的本质；现象是本质的外在表现，现象背后往往隐藏着事物的本质。一个复杂的问题背后，蕴含着多个事物，掌握每个事物之间的联系，根据需要，抽象出相应的本质，即事物发展的规律。这种规律在数学中用函数来刻画。对本质的把握不是一蹴而就的，需要从事物的表现形式和本质规律之间不断研究。此题构造三角函数求数列的通项公式，数 每个根号后面都是数2加上 ，周而复始地循环下去，具有周期性质。而三角函数也具备周期性。数 与三角函数建立关系，寻求规律，从而找到数 具体的通项公式。但不是所有的数列都具有规律，即不是所有的数列都具有通项公式，此法运用时有一定的局限性，不宜推广使用。下面我们介绍两种解决次类问题较为普遍的方法。

法三：单调有界准则极限法

容易看出 单调递增且

数列 单调且收敛，

所以 存在，设 有

评析 此法一般是数学分析教材介绍方法。单调有界准则主要适用于单调收敛数列，如果数列 不具有单调性，此法将失效。运用时显然有一定的局限性，与上述两种方法相比，使用范围相对较广。

法四：夹逼准则极限法

（去掉分母中正数 放大）

从而

由

_这里用到

_{评析：夹逼准则极限法与上述几种方法相比，更具有一般性。}

小结 数学研究过程遵循人们认识事物的一般规律，即从感性到理性、从直观到抽象、从定性到定量的反复循环认识过程，主要研究对象某方面的数学属性、内在关系和规律，并在此基础上发现、提出数学猜想并能加之证明。本文主要从数 的内在规律研究，借助三角函数求出其通项公式进行求解，此法计算量较大，也有一定的局限性，且着眼于高、运用面狭窄，不宜推广使用。借助高等数学相关知识进一步研究，推广出较为普遍的方法：单调有界准则与夹逼准则的极限法。学者不等于良师，提高专业实践水平，是成为合格教师的必要条件，作为一名高中数学教师，掌握基本的高等数学知识，有以下几点价值：①有助于提升教师的专业素质，丰富了教师的知识储备；②掌握数学知识向应用数学的能力转化；③引导学生有意识地构建知识体系，使学生体会到数学的魅力；④有助于培养学生严谨的科学态度。

参考文献

[1]田进仁.中学数学应用高等数学的价值[J].考试周刊，2018，94：90

[2].华东师范大学数学系主编《数学分析》[M] 高等教育出版社，2001 P1-9