二元一次方程与一次函数

二元一次方程与一次函数

曾志强

深圳市宝安中学（集团）外国语学校

1、【学生起点分析】

学生的知识技能基础：学生能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。

学生的活动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．

2.【学习任务分析】

本节课的主要内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．因此确定本节课的教学目标为：

1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；

2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；

3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法．

3、教学重点与难点

【教学重点】二元一次方程和一次函数的关系

【教学难点】数形结合和数学转化的思想意识

4、教学准备

【教具准备】多媒体平台、学案、三角板，

【学具准备】学生学习必备用品。

5、教学设计

一、设置问题情境，启发诱导

1. 今天数学乐园开Party，嘉宾们已经入座，欢乐即将开始！这时走来了x+y=5

请问x+y=5是属于二元一次方程还是一次函数？

【设计意图】这样设计的目的是一方面引导学生回忆学过二元一次方程与一次函数的定义，另一方面既交代了本节课要研究和学习的主要问题，能较好的激发学生求知与探索的欲望。为本节课的教学提供相应的知识，为学生的自主探究提供方向和方法。

二、积极参与，探索新知：

活动1： 二元一次方程与一次函数关系式转化？

（1）你能将 x+y=5 转化成一次函数 y=5-x 吗？

（2）那么方程 2y+x=4 可写成一次函数 y=?

【设计意图】通过设置问题情境，培养学生数学转化的思想意识。

活动2：二元一次方程与一次函数图象的关系？

约定：同桌两位，左边的为甲，右边的为乙，甲乙分工

甲：方程x+y=5有多少个解？ 你能写出几个整数解？

乙：在坐标系中画出y=5-x 的图象

甲乙合作：（1）甲在乙所画的坐标系中描出以上述解为坐标的点,它们都在直线y=5-x上吗?

（2）乙在直线y=5-x上任取一个点,它的坐标适合方程 x+y=5 吗?

（3）以方程x+y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数y=5 -x的图象相同吗 ?

由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数图像的关系.。

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

【设计意图】这是新课程标准倡导，有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践，自主探究与合作交流是学习数学的重要方式。在这里一方面引导学生动手画图，另一方面鼓励学生合作交流。既让学生获得知识，又让学生学生获得方法。以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识。引导学生体会以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程，二者互相渗透，互相作用。

活动3:探究二元一次方程组的解与一次函数图象的关系?

（1）甲：在坐标系中分别作y=5-x和y=2x-1的图象,这两条直线有交点吗?如有，请写出其坐标。

乙：解方程组:

（2）完成后交换任务，对比交点坐标与方程组解的关系。

乙：在同一坐标系中分别作y=-2x和y=2x-4的图象,这两条直线有交点吗?如有，请写出其坐标。

甲：解方程组：:

（3）你能求直线y=x-2与y=x+1的交点坐标吗？

你有哪些方法? 你选择哪种方法？

【设计意图】通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程组）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．

三、应用新知，展现自我

1.若点p（2,5）在直线y=2x+1上，则二元一次方程y-2x=1的一个解为

2.根据图象，你能说出对应的方程组吗?方程组的解是什么?

3.一次函数y=2-x与y=

+ 的图象的交点为（1,1），则方程组 的解为 .

4.若二元一次方程组 的解为 ,则函数y=2x-2与 的交点为

【设计意图】通过练习引起学生的兴趣，通过讲练结合，不断加强学生对二元一次方程与一次函数之间关系的理解，渗透“数形结合”的思想，分别从数”（二元一次方程）与“形”（一次函数）来解决问题。

四、及时总结 颗粒归仓

五、知识提升 挑战自我

内容：在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？你发现了什么？

二元一次方程的解和相应的两条直线的关系２．

（1）观察发现直线平行无交点；

（2）小组研究计算发现方程组无解；

（3）从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；

（4）归纳小结：两平行直线的 相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。

【设计意图】进一步揭示“数”与“形”转化关系．将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对前面知识的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯，充分展示了方程与函数的相互转化，进一步挖掘出两直线平行与 的关系。使学生的思维螺旋上升，让学生在练习中不断进步。

五、效果监测 超越自我

1.观察一次函数图象，直接说出下面方程组的解

2.若方程组 与y=3x-1的图象交点坐标为 。

3. 一次函数y=3x-5与y=2x+b的图象的交点坐标为P（1，-2），试确定方程组 的解和b的值。

4. 求直线y=2x-7与 y=3x+7的交点坐标。

【设计意图】通过练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况，加深两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．

六．总结提升

内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：

1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

2．方程组和对应的两条直线的关系：

方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；

两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；

【设计意图】根据教学过程反馈的信息，设计开放性的问题，鼓励学生大胆交流，由学生回顾所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生熟练掌握、运用知识，有利于学生积累解题经验，形成新的认知结构图，为以后继续学习服务。

七、布置作业，分类达标

1、（基本题）二元一次方程与一次函数

2、（提高题）学案提高题。

【活动方式】：课后学生独立思考组间合作教师给予必要的点拨。

【设计意图】：这两个问题，使作业的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的学生需要，使不同的人在数学上得到不同的发展。

【教学反思】

本节课采取学案引导，自主探究、合作交流为主的学习方式，关注学生自学能力培养；分散难点，突出重点，融知识技能于实际问题情境，迁移渗透“数学结合”的数学思想方法，关注学生数学思维能力培养；巧降难度多铺台阶，多元标准分层评价，激发学生探究问题的兴趣，关注学生个性发展的需求。在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图像的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教学过程中教师一定要注意将图像与函数解析式之间的对应问题阐述清楚，让同学们从根本上认识、理解和运用“数”与“形”之间的密切关系．因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，增加了反馈练习中的4个问题，并且在练习和拓展题目训练中进一步利用交点求三角形面积．.

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