立足教材,设计典例,凸显极限

立足教材 ,设计典例 ,凸显极限

王涛

丽水中学 323000

前苏联著名学者AK加斯切夫曾说过，数学，常被称为“关于无限的科学”，没有无限概念是不可能走进数学的．

无穷与极限的思想是中学数学中的重要思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势，用无限与逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变.虽然极限知识在现行教材中已经淡化,但无穷与极限的思想仍贯穿高中数学的各个部分.在解决问题时有不可忽视的作用.本文就结合高中教材,略谈无限思想在教学中的渗透.

一.通过“几类不同增长的函数模型”教学，培养学生把握函数的整体形态.

在人教版必修一《几类不同增长的函数模型》这节教学时，常见的做法是通过计算机结合图象比较一次函数，幂函数，指数函数，对数函数随着自变量增大时增长速度的不同.学生对此的理解可能只停留在定性直观感知上，不够深刻。若如我们循序渐进配上例题，往往能较好的培养学生整体把握函数形态.

例1.（2009江西理12）已知函数 ，若对一切实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正，则m的取值范围为______________.

解析：当m=0时，不满足，当m≠0时，x→ ∞，g(x)为一正一负，而f(x)确同号，故只能同正，从而m>0.即只需f(x)在区间 恒正即可.对称轴为 ,所以 或者 .解得0

例2.(2013新课标理21)设函数 ，若当x≥-2时，

f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

解析: f(x)≤kg(x) .

,x=-lnk≥-2.于是h(x)在 上递减,在(-lnk,+ ∞)上递增. ,解得1≤k≤e²

二.通过“为什么是双曲线的渐进线”教学,培养学生在无限变化的过程看图形的变化规律.

人教版选修2-1 P62页的“探究与发现”部分,介绍了为什么 是双曲线 的渐进线.用极限知识生动解释了渐进的含义. 双曲线的渐近线是双曲线退化的极端情形.材料后面凸显的是用动态的观点看曲线图形的变化规律.通过以下例子让学生养成在无限变化的过程看图形变化规律.

例3. (2012浙江高考理8)如图1，F₁,F₂分别是双曲线C： （a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF₂|=|F₁F₂|,则C的离心率是(B )

A B

C D

解析:设PQ中点N(x_0,y_.0),M(3c,0),

直线PQ的斜率 ，从而直线MN的斜率

N是直线PQ与两渐近线 的交点中点，利用点差法，类似双曲线有 .从而有方程 ,解得 .

又点N、B、F₁三点共线.有 ,得3a²=2c², .

例4. (2014浙江高考理16)设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点A、B，若点 满足 ，则该双曲线的离心率是______________.

解 析:方法同例3.求得

例5.如图2 F₁、F₂分别是双曲线C： （a,b＞0）

的左、右焦点，P为右支上的一点,则△PF₁F₂的内切圆的圆心

横坐标为

A a B b C c D a+b-c

解析：当P延双曲线向右顶点无限接近时，内切圆逐渐变小

直至一个点,此点为右顶点.故选A

三.通过“柱体、锥体、台体体积公式”的教学,培养学生通过动态的看待空间几何体，几何量，养成猜想、验证、合情推理的能力.培养学生的创新精神.

人教版必修2 P26页,在得出柱、锥、台的体积公式后，安排了一个“思考”.目的是引导学生思考柱体、锥体、台之间的关系,培养学生地看待动态几何体.几何体作为直观、形象的数学模型，学生在用观察、操作、猜想、设计、作图等手段探索研究的过程中获得视觉上的愉悦，增强好奇心，激发出潜在创造力，形成创新意识.以下例子就有很好的作用.

例6. 正 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

A（ ） B（ ）

C（ ） D（ ）

解析:如图3 当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近 .当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正 多边形的一个内角，即为 ，因此，所求二面角的范围应为（ ）

例7.（2005全国卷三理8）如图4设三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别是侧棱AA₁，CC₁上的点且满足PA=QC₁，则B—APQC的体积为（ ）

A B C D

解 析：本题体积为定值，可考虑P与A重合，Q与C₁重合时，三棱锥B—ACC₁的体积为 .故选A

例8.（2017高考模拟卷题9） 如图5，已知三棱锥D-ABC，记二面角C－AB－D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ

₁，直线DA与BC所成的角是θ₂，则

A．θ≥θ₁ B．θ≤θ₁ C．θ≥θ₂ D．θ≤θ₂

解析:根据最小角定理,线面角是这条斜线与这个平面内的任一直线所成角中的最小角, 所以有θ₁≤θ₂,而二面角是所有线面角中最大的.因而有θ≥θ₁ .

例9.(2014浙江卷理17)如图6，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 _.（仰角_{为直线AP与平面ABC所成角）}

解析：AP是平面AMC内的动直线，因此当直线AP与平面ABC

所成角与二面角M—AC—B相等时线面角最大.所以本题只需过点B，

分别在墙面和地面内作BC和AC的垂线，交MC，AC于E,D两点.则

∠EDB为二面角的平面角.可求得BC=20,BE= ,BD=12.

故tan_{的最大值为} .

极限思想在很多的问题的思考中,也许算不上是一种严密的方法,但它至少可作为一种猜想或验证结论的工具.在越来越重视合情推理的今日数学教学中,培养学生用极限思想去分析思考问题是必要的.

参考文献:1.[美]M.克莱因《古今数学思想》 上海科学技术出版社.

2. 顾泠沅.《作为教育任务的数学思想与方法》 上海教育出版社.

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