抽象思维在概率统计中的应用

抽象思维在概率统计中的应用

杨付贵

广州工商学院基础教学部　　（广东 佛山 三水 528138 ）

摘要：抽象思维是指除去事物的所有物理属性后，而得到的数学关系形式的思维过程，它可以帮助我们认识某些事物的本质，发现新的研究课题以及新的成果；此外，抽象更便于推广应用，它不仅可以使我们将不同领域的对象放在一起进行探讨研究，而且还可以将一个领域的研究成果推广到另一个领域。在概率统计的教学中，运用抽象思维不仅有助于大学生对于某些基本概念的理解和掌握，也更容易使同学们接受所学的新的知识理论，进而巩固旧的知识理论，并且无形中也培养了学生的抽象思维能力。本文主要阐述如何从实际问题中，利用抽象思维得到概率论中概率的精确定义，以及建立了随机变量、分布函数、总体、样本等概念，通过对它们的研究和探讨，得到了一系列重要性质和结论。然后再将我们得到的基本知识理论应用到数理统计和具体的实际生活中去，

关键词: 抽象思维；分布函数；总体；样本

由于抽象思维的能力通常是我们分析问题和解决问题的能力中最主要的部分，由具体到抽象是人们认识事物比较普遍的思维过程，通常，我们首先将问题提出, 诱发同学们思维，引导学生如何把问题的关键、特征、本质抽象出来, 加以分析、综合、概括, 然后给出精确定义，使学生们逐步领会和掌握如何将实际问题，抽象为数学问题的思路和方法。

1.依据事物的本质特征抽象出新的定义

在引进概率的公理化定义时, 通过探讨事件发生频率的稳定值，作为概率的统计性定义，直观上同学们很容易理解，但这个稳定值的确定却需要做大量的实验，观察求极限，不太现实；为此，我们引进了古典概型中概率的定义，几何型中的概率和经验概率等等，通过比较、综合、概括、发现，虽然它们都具有局限性，但它们却具有三个共同的本质特征，即对应随机实验中的任何一个事件 的概率 满足：1.非负性 ；2.规范性，即对应样本空间 有 ；3.可列可加性，即：如果事件 两两互斥，则 。我们将三条共同特征为概率的三条公理。由此我们抽象出概率的公理化定义，即：考虑随机试验E，如果对于样本空间 中的任意随机事件 ，都有唯一的实数 与之对应，并且满足概率的三条公理，则称事件的函数 为事件 的概率。

2.通过事物之间的联系，抽象出新的概念

为了用数学分析的方法研究随机实验，我们首先将实验的结果数量化，为此，我们可以通过较多实例, 将实验的结果与实数对应起来, 然后引导学生进行观察和分析，使同学们看到:对于本来具有数量意义的随机实验可直接建立事件与实数间的关系;而对于有些随机实验，从现象上看似乎没有数量意义的实验结果，我们也可以经过加工处理，使得随机实验的结果数理化，从而，在样本空间上，我们就可以定义一个新的函数，称之为随机变量。显然，随机变量是一个定义在样本空间上，样本点的一个实值函数，且它取每一个值都有一定的概率，这是随机变量区别于数学分析中的函数的两个本质特征。此外，随机变量的引入弥补了随机实验下众多随机事件发生可能性的规律性

进一步，为了了解和掌握随机变量的统计规律性，我们需要确定随机变量在某个区间内的概率，由于随机事件 ，所以，对于任意实数 ，只要知道随机事件 的概率，就可以知道随机变量落在任何一个区间内概率.因此,我们用 表示随机事件 的概率.这样,我们就抽象得到了随机变量的一个十分重要的概念,即分布函数的定义：对应任意实数 ,称

为随机变量 的分布函数。又由于对于任意两个实数 有

所以，只要我们知道了随机变量 的分布函数，就可以求出随机变量 落在任何一个区间 内的概率。因此，分布函数完整的描述了随机变量 的统计规律性。并且，我们看到，分布函数就是数学分析中的普通函数，所以，通过分布函数，我们就可以用数学分析的方法来研究随机变量的分布了。

3.通过透过现象看本质,抽象出它们的共性

在现实生活中，通过观察、分析、研究，发现这样一种现象，如果随机现象的某个数量指标，受到许多不确定因素的影响，而且这些不确定因素彼此之间又没有什么特别的依存关系，且也没有哪一个不确定因素对该数量指标有什么特别突出的影响，那么，这些不确定因素对该数列指标影响的 “累积效应”将会使该数列指标近似地服从正态分布。由此抽象得出了中心极限定理，中心极限定理从理论上证明了，在通常情况下，随机变量序列中的每个随机变量 无论服从什么样的分布，都有 个相互独立的随机变量的和 ，当 趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。因此，中心极限定理不仅给我们提供了计算相互独立随机变量之和的概率的近似简单方法，而且解释了在现实生活中，为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。

类似的，现实生活中，从随机事件随着试验次数的增多，发生的频率逐步“稳定”到随机事件的概率值，以及随机变量的算术平均值具有稳定性等现象中，通过透过这些现象看本质,抽象出它们的共性，也就是大数定律。

4.抓住事物的主要特征，抽象为数学模型

通常，我们将所研究的对象的全体称为总体，组成总体的每个成员称为个体，比如，我们要考察某小校五年级男学生的身高情况，那么该校所有五年级男学生就组成了问题的总体，该校五年级的每个男学生就是一个个体，由于我们考察的是身高这个数量指标，为简化，我们将该校五年级的每个男学生(个体)数量指标值抽象成个体，而将所有数量指标值得全体抽象成总体。这样，总体就抽象成了由一组数据值组成的集合。又由于在这个集合中，数据值有大有小，有的数据值出现得次数比较多，而有的数据值却出现的次数比较少，也即总体的数量指标就是服从一个分布的随机变量，这样，我们经过进一步抽象，得出将总体用一个随机变量来描述。

类似的，数理统计中，样本，统计量等等，都是抓住事物的主要特征，抽象得到的数学模型。

5 从抽象到具体, 培养学生思维的创造性

掌握理论知识的目的是为了具体的应用.每一个基本概念就是一个信息源,是人们创造性思维的启动器.通过引导学生分析、观察, 进而灵活运用所学的理论知识, 逐步培养学生们思维的创造性和灵活性, 使遇到的实际问题迎刃而解.比如, 通过学习古典概型, 解决了随机抽样模型、抽奖模型、赌金分配问题等; 通过学习几何概型，解决了碰面问题、浦丰投针问题等；通过学习二项分布,解决了射击问题、机器故障问题等;通过学习正态分布,解决了测量误差、元件寿命、产品质量、某市居民的用水量，耗电量等概率计算问题;通过学习数理统计, 把现实生活中的具体问题消化吸收, 提炼抽象成为一个相应的数学问题来解决.通过由认识到实践, 从理论到应用, 不仅提高了学生的学习兴趣, 而且萌发了同学们的创造性思维的火花.

在概率论与数理统计的教学过程中，适当地渗透一些基本概念、定理发现的背景、过程及抽象思维方法, 不仅可以使同学们易于理解和掌握抽象的数学概念、定义、定理和结论,以及解决问题的方法，而且有助于学生形成良好的数学思维习惯和创新意识, 同时激发学生学习概率论与数理统计的兴趣。

总之，将事物的具体特征简化，抓住其主要特征，形成特殊的数学抽象思维模式，在学习概率论与数理统计的过程中，都可以有意识地加以培养与渗透。使同学们的抽象思维能力不断提高。

参考文献

[1] 曹培英.数学学习中的抽象思维及其教学策略[J].新教师.2017,12.25

作者简介：杨付贵（1957.5.26）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。