福建省南安职业中专学校
初中我们知道了如何求简单方程的解，学完了必修1函数零点定理，我们能把方程问题合理转化为函数问题进行解决. 函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化.下面对有关函数零点问题进行分类：
一、求零点所在区间.
例1.函数
的零点所在的一个区间是（ ）．
A.
B.
C.
D.
解:因为
，
，
所以函数 的零点所在的一个区间是 ．故选C.
二、求零点个数.
例
2.函数
的零点有_______个.
解析: 的零点就是方程
的解,在同一平面直角坐标系中画出
和
的图象(如图1),可见函数 的零点个数为1.
三、求零点值.
例3.若函数
的零点是
,
的零点是
,求
的值.
解析: 在同一平面直角坐标系中，画出函数
、
与
的图象.
设
与 交于点A
， 与 交于点B
，因为 和 互为反函数，所以A、B两点关于直线
对称,有
.又A 在 上,所以
.
四.根的个数与参数关系.
例4. 求出关于
的方程
的实根的个数.
解析：令
，
.如图所示，
的图象是将
的图象在
轴及其上方的部分不变， 轴下方的部分以 轴为对称轴，对称地翻折倒上方.
由图可知：当
时，两函数图象无交点，故原方程无实根；
当
时，两函数图象有两个交点，原方程有2个实根；
当
时，两函数图象有4个交点，原方程有4个实根；
当
时，两函数图象有3个交点，原方程有3个实根；
当
时，两函数图象有2个交点，原方程有2个实根.
五. 利用零点性质求参数的取值范围.
例5.已知方程
有解，则b的取值范围是( )
A.
B. 
C. 
D.
解析:令
则
表示上半圆，由数形结合知道C
例6.已知
是实数，函数
，如果函数
在区间
上有零点，求
的取值范围．
解
析:当
时, 函数 在区间 上没有零点.
当
时, 
的零点就是关于
的方程
的根.在同一平面直角坐标系中，画出函数
与
的图象.若过定点A(0,
)的直线 与抛物线相切于
轴下方,由
中的
,解得
(当
时,切点在 轴上方).
设直线
与 交于B点,直线AB的斜率
.
所以使 与
有公共点的
的范围是
.
解不等式
得,实数a的取值范围为(-∞, 
]∪[1, +∞).
解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法.
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