弹性材料本构方程简易推导

弹性材料本构方程简易推导

陈伟超

武汉长江航运规划设计院有限公司 湖北武汉 430000

摘 要：弹性力学问题的三大基本方程分别为平衡方程，几何方程，本构方程。文中主要介绍弹性材料弹性阶段的本构方程简要推导过程。

关键词：本构方程；增量理论；弹性

1 前言

本构方程描述的是材料应力与应变之间的关系，其具有更广泛的含义，凡是描述介质的应力或应力率、应变或应变率等之间关系的物性方程，统称为本构方程。

2 弹性阶段本构方程推导

2.1 方程建立

弹塑性材料处于弹性阶段，即当应力小于屈服应力 时，由材料力学相关知识可知应力 与应变 之间符合Hooke定律： ，其中E为弹性常数（杨氏弹性模量）。

三维应力状态下，材料内部一点处应力状态有9个应力分量，故对应于9个应变分量。由应力张量与应变张量的对称性 ， ，独立的应力分量与应变分量各为6个。对于均匀的理想弹性体，假设应力应变关系式可表达如下：

（1）

其中 （m, n=1, 2,3, 4, 5,6）为弹性系数，由材料性质决定，与坐标x, y, z无关。

2.2 系数确定

2.2.1各向同性材料本构方程

对于各向同性材料，独立的弹性常数只有两个，故在最终得出的本构方程中仅使用两个系数来表示应力应变关系。在弹性状态下主应力方向即为主应变方向。令坐标轴Ox, Oy, Oz与主应力方向相一致，此时，各应力面无剪应力，只有正应力，故式（1）变化如下：

（2）

各向同性材料中， 对 的影响与 对 及 对 的影响相同，即有 。同理， 和 对 的影响相同，即 ，类似有： ， 等，因而令

（3）

于是，对于应变主轴（用1, 2, 3代替x, y, z）来说，弹性常数有两个这里设为P和Q。将式（3）带入式（2），并令 ， ， （此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可得出下列弹性本构关系：

（4）

其中，常数 称为拉梅弹性常数，在此可以看出主轴坐标系下，本构方程只含两个未知参数。

于是，在任意坐标系中弹性阶段本构方程为：

（5）

利用求和约定，式（5）可改写成

（5´）

以上为各向同性材料在弹性阶段本构方程，但在此，方程中λ,μ两参数仍不能直接得出，不能在后期工程计算应用中方便使用。故将在以下部分利用各向异性材料引入参数E和G来得出弹性材料弹性阶段的本构方程通用形式。

2.2.1各向异性材料本构方程

正交各向异性材料的本构关系，可根据任一坐标轴反转时弹性常数 保持不变，由式（1）得出：

（6）

其中包含9个弹性常数。

将式（5´）中的 解出后（此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可以得出用应力分量表示的应变分量表达式：

（7）

以上式中含有拉梅常数λ和μ，在此对式（7）中 作变换如下：

同理，对其余应变分量作变换，根据求和约定，式（7）可改写成

（7´）

其中 ，继续变换如下：

（8）

令 式（8）可写成

（9）

同理，用应力分量表示应变分量表达式如下：

（10）

其中， ，称为剪切弹性模量。对式（10） 作变换

（11）

同理，对其余应变分量作变换，根据求和约定，式（11）可改写成

（12）

其中 。

解出应力 ，式（12）可转化为（此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）

（13）

在此，令 ，广义Hooke定律可写成

（14）

其中 分别是应力偏量与应变偏量， 。

参考文献

[1] 杨桂通. 弹塑性力学引论(第二版)[M]. 清华大学出版社. 2004: 1-77.

[2] 老大中. 变分法基础(第3版). 国防工业出版社. 2015: 25-41.

[3] 蔡美峰, 何满潮, 刘东燕. 岩石力学与工程. 科学出版社. 2012: 180-227.

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