黑龙江省鹤岗市宝泉岭高级中学 154211
设计理念
数学学习活动不仅限于接收、记忆、模仿、练习,倡导学生主动学习,互相合作交流的数学学习方式。让学生体验数与形的转换,培养学生数据分析和解决问题的能力,发展学生创新意识。本节课主要采用问题导学的模式,层层递进,引发学生思考,让学生在完成一个问题的同时进一步升华对问题的理解,加深概念在圆锥曲线问题中的应用,体会定义在解决圆锥曲线问题时的优势,加深学生对定义的理解,培养学生抽象思维,数学分析的能力,能够从问题中提炼出圆锥曲线定义。
注重学生多层次发展,在问题解决得探究过程中体现“以人为本”,充分体现“人人学有价值得数学,人人都能获得必需得数学”,让不同层次的学生都能得到发展。注重信息技术与数学课程的结合,运用几何画板,让学生直观感知,激发学生对数学的学习兴趣,较好的理解和使用圆锥曲线定义。
教学分析
(一)教材分析:圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容,是历年高考的必考点,同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点,与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本,是相应标准方程和几何性质的“源”,不能正确的理解定义,对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。
(二)学情分析:在数学抽象、数学运算、及直观想象等方面都比较薄弱,因此在本节教学过程中,结合几何画板,让学生更大程度上理解图形。学生对圆锥曲线的定义已有一定的理解,但在运用圆锥曲线定义解题时的方法、题型没有掌握好,恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁,熟悉“回归定义”这一重要的解题策略。
(三)核心素养目标
1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义,能灵活应用定义解决问题,引导学生从方程和图形中抽象出圆锥曲线的定义,培养学生数学抽象思维。引导学生数据分析,归纳提取定义,构建数学模型解决问题。
2.圆锥曲线中涉及定义解决最值的问题,学会利用定义的转化思想,培养学生应用数学分析和解决问题的意识。
3.借助多媒体辅助教学,激发学生积极思考,勇于探索,提高学生的数学学习兴趣,培养学生直观想象的能力。
(四)教学重点:圆锥曲线定义的理解,利用定义解决轨迹方程及最值问题。
(五)教学难点:利用定义转化,将最值转换为焦点与定点间距离和点到准线距离问题。
(六)教学方法:讲练结合,演示法
三、教学过程
(一)、知识要点——复习圆锥曲线的定义
椭圆定义: 集合表示
双曲线定义: 集合表示
抛物线定义: 集合表示
【设计意图】:通过让学生复习圆锥曲线的定义,熟悉定义,尤其注意定义中三类曲线的相同点和不同之处,为接下来进一步利用定义解题打下基础。
(二)、考点点击
类型一、利用定义求轨迹及方程
【例1】动点P满足下列方程,请说出其表示的轨迹
【设计意图】:通过直接给出方程,了解学生对定义的掌握程度。巩固定义,并得出由方程可分析几何意义从而得到圆锥曲线定义,解决轨迹问题。
小结:方程 圆锥曲线定义
轨迹
【 例2】如图,圆O的半径为定长r, A是圆O 外一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线
和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
变式: 如图,圆O的半径为定长r,A是圆O 内一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线 和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
【设计意图】:通过图形,结合垂直平分线性质,先让学生在图形中找到与定义相关联的式子,从而判断出轨迹形状。加强学生在图形中的直观想象和数据分析能力。
分析:题目比较抽象,学生在课下先研究例题,学生可能会出现的问题最多的应该是最后答案是双曲线的一支,他们被图形束缚,未想到题目中说的P是圆上的任意一点,导致做题时出现错误,探讨后,由教师在课上直接给出变式,变式中图形是椭圆。
小结:图形 圆锥曲线定义
轨迹
【例3】已知两圆 ,
,动圆M和圆
相内切,和圆
相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
变式:已知两圆 ,
,动圆M与圆
相内切,和圆
相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
变式:与圆 一个内切一个外切,轨迹方程为 .
【设计意图】将图形转换到坐标系中,结合与圆的内外切问题求轨迹方程,也是定义应用的一个重要方面.
分析:例3中由M和圆 相内切,和圆
相外切,根据切点圆心共线,得到
结合椭圆定义,得出轨迹并求出方程,再利用多媒体让学生直观感知轨迹图形。
小结:图形 圆锥曲线定义
轨迹
方程
类型二:利用定义求最值问题
【例1】 已知椭圆 ,
为椭圆的右焦点,
是椭圆上动点,A(6,3)为平面内一定点,则
的最小值为 .
的最大值为 .
练习.已知双曲线 ,
为双曲线的右焦点,
是双曲线右支上动点,A(6,3)为平面内一定点,则
的最小值为 .
【设计意图】:让学生探讨定义求最值的方法,利用定义求最值问题也是定义法的重要应用,本题结合数形结合思想,考察椭圆定义的活学活用。
分析:在例1中,A点选在了椭圆外,引导学生分析出 如果直接小于
是无法取到最值,等号成立时点P不在曲线上,让学生通过练习加深理解和运用。
已知抛物线 ,F为抛物线焦点
点A(2,2),若点P在抛物线上移动,则|PA|+|PF|的最小值 .
点B(2,3),若点P( 在抛物线上移动,则
+|PB|的最小值是 .
【设计意图】例2又将求最值转换成了点到准线距离问题,考察了学生对抛物线定义的理解和应用。层层递进,让学生从定义和图形入手,掌握定义解决最值问题的方法步骤。
小结:圆锥曲线定义 求最值
焦点与定点距离及点到准线距离(“三点共线”取最值)
(三)、小结
主要以提问、补充的形式对本节课知识做一个简单的回顾和总结,让学生对整节课的内容有一个整体的理解和把握。
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