陕西陕煤澄合矿业公司董矿分公司
澄合矿区及所属矿井测量控制系统使用北京54 坐标系,工作中常用到西安80坐标系测绘数据,加之2000国家大地坐标系的起用,使得测绘数据所使用坐标系统较为多样,为实现基础数据无缝对接、共享利用,必须掌握各坐标系统间数据转换的方法及转换精度。现基于赫尔默特相似变换就北京54坐标系与2000国家大地坐标系转换方法及精度进行分析。
1 坐标转换方法
赫尔默特相似变换常用于进行两种坐标系间的平面坐标转换,转换模型中包括4个参数,分别用于表示两种坐标系间的平移、旋转和尺度缩放。在具体模型解算时,控制点的数量和空间位置分布对所建模型转换精度有一定影响。本文结合具体实例,通过仿真计算,探讨了转换过程中控制点数量和空间分布对所建模型转换精度的影响规律。
设在煤矿范围内,如图1所示, 为2000国家大地坐标系,
为北京54坐标系,两坐标系之间的夹角为
,两坐标系原点之间的偏差为
,设
为矿区一控制点,其对应的北京54坐标和2000国家大地坐标分别为
,
。
可以推证,赫尔默特相似变换用于北京54坐标系和2000国家大地坐标系平面坐标转换的模型可表示为
(1)
上式的转换模型包括4个待求参数。 、
分别为坐标在
和
轴上的平移大小,
为缩放比例,
为旋转角度。为求解这4个参数,需要根据矿区若干控制点的54坐标和2000坐标,利用(1)式按最小二乘法进行解算。控制点的数量和空间位置分布,将影响所建模型的转换精度。
2 转换模型解算
设在矿区范围内有 个求解(1)式中参数的控制点,
个点的54坐标和2000坐标分别为
,
,
,下面推导转换模型参数的求解算法。对
个控制点,根据(1)式,可得方程如下:
,
,
,
,
则上式矩阵表达式为: ,上式的最小二乘解为:
,
为54坐标系至2000坐标系转换参数。
3 转换及精度分析
为分析所用已知控制点数量和分布对模型转换精度的影响规律,现选择澄合矿区地面和井下控制点进行建模和精度检验,坐标如表1所示(该表数据均做加常数处理)。
表1 选择的澄合矿区地面和井下控制点
序号 | 点名 | 54坐标系 | 2000坐标系 | 序号 | 点名 | 54坐标系 | 2000坐标系 | ||||
X(N)/m | Y(E)/m | X(N)/m | Y(E)/m | X(N)/m | Y(E)/m | X(N)/m | Y(E)/m | ||||
1 | E91 | 3621.209 | 8195.037 | 3574.942 | 8239.964 | 21 | Y10 | 6046.26 | 8727.069 | 5999.988 | 8771.962 |
2 | E92 | 3503.881 | 7540.299 | 3457.611 | 7585.242 | 22 | G7 | 5820.29 | 7599.464 | 5774.018 | 7644.369 |
3 | E93 | 3703.796 | 7209.937 | 3657.526 | 7254.879 | 23 | Y11 | 6272.611 | 9112.487 | 6226.339 | 9157.373 |
4 | J01 | 3432.085 | 6395.007 | 3385.813 | 6439.929 | 24 | G8 | 5958.186 | 7507.122 | 5911.915 | 7552.03 |
5 | J02 | 3426.661 | 7077.862 | 3380.388 | 7122.783 | 25 | Y12 | 6421.624 | 8173.97 | 6375.351 | 8218.872 |
6 | G1 | 3465.202 | 7477.979 | 3418.93 | 7522.921 | 26 | G9 | 6136.145 | 7917.642 | 6089.874 | 7962.539 |
7 | G2 | 3494.481 | 7712.766 | 3448.209 | 7757.699 | 27 | Y13 | 6620.921 | 7210.112 | 6574.648 | 7255.034 |
8 | G3 | 3665.032 | 7889.279 | 3618.76 | 7934.209 | 28 | G10 | 6361.858 | 7299.08 | 6315.588 | 7344.001 |
9 | G4 | 3890.51 | 8340.09 | 3844.238 | 8385.004 | 29 | Y14 | 6744.669 | 7141.477 | 6698.396 | 7186.39 |
10 | Y1 | 3919.962 | 7690.798 | 3873.689 | 7735.732 | 30 | S5 | 6582.929 | 8576.958 | 6536.659 | 8621.878 |
11 | Y2 | 4105.777 | 6703.359 | 4059.505 | 6748.298 | 31 | Y15 | 6926.819 | 8600.971 | 6880.547 | 8645.88 |
12 | Y3 | 4365.159 | 9088.02 | 4318.887 | 9132.924 | 32 | Y16 | 7048.547 | 6493.599 | 7002.274 | 6538.509 |
13 | Y4 | 4552.047 | 8230.703 | 4505.775 | 8275.638 | 33 | S6 | 6658.444 | 7317.491 | 6612.175 | 7362.404 |
14 | Y5 | 4770.359 | 8534.326 | 4724.086 | 8579.242 | 34 | S7 | 6660.228 | 7285.075 | 6613.961 | 7329.987 |
15 | Y6 | 5026.956 | 6671.382 | 4980.683 | 6716.318 | 35 | G11 | 6659.256 | 6954.769 | 6612.991 | 6999.671 |
16 | Y7 | 5225.153 | 7754.185 | 5178.881 | 7799.095 | 36 | S9 | 6669.335 | 9770.548 | 6623.07 | 9815.442 |
17 | Y8 | 5462.487 | 7259.447 | 5416.215 | 7304.375 | 37 | S10 | 6669.33 | 8279.733 | 6623.066 | 8324.643 |
18 | Y9 | 5744.396 | 7371.172 | 5698.124 | 7416.079 | 38 | S11 | 6669.346 | 7661.253 | 6623.082 | 7706.14 |
19 | G5 | 5908.235 | 7001.889 | 5861.963 | 7046.806 | 39 | S12 | 6669.358 | 8111.729 | 6623.096 | 8156.643 |
20 | G6 | 5796.467 | 7549.02 | 5750.195 | 7593.934 | 该表数据均做加常数处理。 |
表1中各控制点纵向范围3.62km,横向范围为3.38km,控制面积为12.24km2。E91、E92和E93是地面四等GPS控制点,已验证E91坐标存在较大误差。为研究建模用控制点的数量和分布对所建模型的影响规律,现考虑以下三种建模方案:
1、取表1中序号为奇数的点建模,用序号为偶数的点检验建模精度;
2、取序号为1至10的点建模,用其余点检验建模精度;
3、取序号为25至39的点建模,用其余点检验建模精度。
以上3种方案所得转换模型及各方案所建模型的残差和预报中误差如表2所示,利用各方案所建模型求算各点的残差和预报偏差,其分布如图2a~4b所示。
表2 各种方案所求模型参数及相应精度指标
方案 | 纵横坐标转换模型参数( | 纵横坐标精度指标 | |
残差中误差/mm | 预报偏差中误差/mm | ||
方案1 | 1.00000028026352、9.93869130589853×10-6、 -423.5344、-41.8523 | 0.96 1.16 | 0.78 0.83 |
方案2 | 1.00000284718935、7.6761049831239×10-6、-348.9163、-146.6564 | 0.86 1.17 | 6.38 5.45 |
方案3 | 0.999997922895366、1.13319755797326×10-5、-466.4523、51.7345 | 0.99 0.41 | 5.34 4.14 |
图2a 方案1所建模型的纵横坐标残差
图2b 方案1未参与建模控制点的纵横坐标预报偏差
分析图2a和2b可得,当控制点数量较大,且分布均匀,建模所用控制点的残差一般在±2mm以内,因E91本身存在较大误差,当参与建模时,其纵横坐标残差均明显大于其它正常控制点,且横坐标Y的残差接近2.8mm。未参与建模控制点纵横坐标预报偏差均在±1~2mm以内,说明所建模型精度较高。
图3a 方案2所建模型的纵横坐标残差
图3b 方案2未参与建模控制点的纵横坐标预报偏差
分析图3a和3b可得,当参与建模的控制点较少,且空间位置分布不均匀时,除本身有较大误差的E91点外,建模所用控制点的纵横坐标残差均在±1.5mm以内,E91点的横坐标残差接近1.8mm。说明模型的拟合精度较高。但模型的预报偏差却较大,且伴随预报点离建模点越远,预报偏差就越大,所建模型用于坐标转换时适用的空间范围较小。
图4a 方案3所建模型的纵横坐标残差
图4b 方案3未参与建模控制点的纵横坐标预报偏差
分析图4a和4b可得,伴随建模所用控制点数据的增加,所建模型的纵横坐标残差均在±1.5mm以内,模型的预报偏差有所改善,且在预报本身有误差的E91点时,预报偏差明显大于其它各点。此说明通过坐标转换模型,能够发现本身存在较大误差的控制点。
4 结论
1、当建模用控制点数较多,且空间位置分布均匀时,所建模型有较高的转换精度。离开建模所用控制点越远,坐标转换精度就越差。当建模所用控制点数量增大,但分布不均匀时,所建模型转换精度会有一定改善。
2、在建模用公共点中,个别点位存在较大误差时,所建模型在误差较大的点上,纵横坐标残差明显大于其余建模点的残差。伴随所用公共点数增多,误差较大控制点上的残差将逐渐增大并趋于稳定。个别控制点存在较大误差,但当所用公共点数较多且分布均匀,所建转换模型的精度将不会受到影响。
3、若建模所用控制点不存在较大误差,所建模型的残差均相对较小。在进行坐标转换预报时,在误差较大的控制点处,预报偏差明显较大。
4、赫尔模特相似变换模型用于坐标转换,建模所用公共点的数量和分布,将影响所建模型的适用空间范围。在建模所用控制点数逐渐增加时,即使分布不均,所建模型转换精度也将改善。