《3.2.1 函数的单调性》教学设计

《 3.2.1 函数的单调性》教学设计

龙凡群

浙江省淳安县第二中学

一、内容和内容解析

内容：函数的单调性.

内容解析：在客观世界的变化过程中， 增减性是很重要的变化规律之一，而函数的单调性可以刻画这一变化规律.我们可以利用函数的单调性求解方程、不等式、函数的最值等问题。所以，学习函数的单调性非常有必要.

在前一课，学生刚学习了函数的概念，体会到高中阶段函数的概念与初中函数的概念的联系与区别，本节课在此基础上进一步研究函数的性质之一——函数的单调性，让学生经历从图象直观到自然语言再到符号语言的刻画过程，感受数学的符号语言的作用和数学的严谨性，体验概念形成过程，也为后面进一步学习函数的其他性质打下铺垫.

学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法，培养学生的直观想象，数学抽象等数学素养，提升学生的思维水平.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的定义，单调性的判断以及证明.

二、目标和目标解析

教学目标：

(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用和实际意义；

（2）会用定义证明函数的单调性；

(3)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.

目标解析：

达成目标（1）的标志是：能从函数图象观察求得函数的单调区间，能理解函数单调性定义中的“任意”“都有”等关键词的含义，明白函数的单调性能反映客观世界中事物的变化规律.

达成目标（2）的标志是：能利用函数单调性的定义证明函数的单调性，掌握证明的步骤.

达成目标（3）的标志是：让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，学生能对函数单调性进行精确符号语言刻画， 并能应用到实际的问题中去.

三、教学问题诊断分析

学生在初中已经学习了一些基本初等函数，并且对函数图象的上升与下降的变化趋势能用自然语言“y随着x的增大而增大（减小）”进行描述.现在在高中阶段，要学会用符号语言“x₁,x₂∈D, 当x₁2时，都有f(x₁)< f (x₂)（f(x₁)> f (x₂)）”来刻画.形成函数单调性概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，这对学生而言，是一个大的挑战。通过问题串的教学方式，结合多媒体演示，层层推进，引导学生从定性到定量的分析，归纳出函数单调性的定义，再通过例题与练习去理解和巩固定义.

通过以上分析，因此本节课的教学难点是： ①如何用符号语言刻画“函数值随自变量的增大而增大（减小）”； ②理解 “∀ x₁,x₂∈D，都有”.

四、教学支持条件分析

利用多媒体（几何画板）动画演示.

五、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

引言：在前面的学习中，我们知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系,那我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.函数有怎样的变化规律呢？

我们先来看个例子:老同学想来千岛湖游玩，那我们自然得清楚天气如何？所以，

我作了一个10月1号24小时的气温变化图.

思考：

（1）你能结合天气预报给我的老同学一些建议吗？

（2）如果把时间设为x，气温设为y，y是x的函数吗？这其实是函数的哪一种表示法？

（3）如果y是x的函数，那么函数图像反映了哪些变化规律？从左至右，函数图象的变化趋势如何？

生：半夜温度一直在下降，早晨6点后开始上升，到中午14点达到最大，下午开始下降.

师：分析的不错哟！图象的这种 “上升”与“下降”的变化规律就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.

设计意图：以生活实例为情景，激发学生的学习兴趣，使学生感受研究函数性质的必要性.问题2是为了培养学生的建立函数模型的意识，问题3是为了让学生直观感受图象的“上升”与 “下降”，完成学生对单调性的一个直观认识，明确本节课学习的任务.

（二）抽象特征，形成概念

1.观察二次函数f(x)=x² 的图象

思考：

（1）从左至右，函数f(x)=x² 的图象是上升还是下降？

生：图象在y轴左侧“下降”，在右侧“上升”.

(2) 用文字语言如何描述函数的这种变化趋势呢？

生：在区间（-∞,0）上，y随x的增大而减小；在区间（0，+∞）上，y随x的增大而增大.

（3）如何用数学符号语言来刻画函数的这种变化趋势呢？

师：在y轴左侧的图象上随便取两点A，B，任意改变A,B的位置，保持点A横坐标小于点B的横坐标，这两点的纵坐标有什么关系？

生：点A的纵坐标始终大于点B的纵坐标.

师：现在将A,B的坐标用字母（x₁ ，f(x₁)），（x₂ ， f (x₂)）表示.始终保持x₁2，一定得到f(x₁)>

f (x₂)成立.请问x₁,x₂在哪个范围上？如果x₁<0,x₂ >0还成立吗？x₁,x₂是取的两个特殊值，还是随便取的？ 用哪个词表达合适？

任意取x₁,x₂∈（-∞,0） ,得到f(x₁)=x₁², f (x₂)=x₂² ,那么当x₁2时，都有f(x₁)> f (x₂), 这时我们就说函数f(x)=x²在区间（-∞,0）上是单调递减的.

（4）你能说明为什么f(x₁)> f (x₂)吗？

师：其实就是比较大小的问题，如何比较两个数的大小？

生：作差或作商.

引导学生进行推导.

我们定义f(x)在区间（-∞,0）上是单调递减，那么就可以定义它在（0，+∞）上是单调递增.

（5）你能仿造f(x)=x²在（-∞,0）上单调性的描述，刻画它在x∈（0，+∞）上具有的单调性吗？

任意取x₁,x₂∈（0，+∞） ,得到f(x₁)=x₁², f (x₂)=x₂² ,那么当x₁2时，都有f(x₁)< f (x₂), 这时我们就说函数f(x)=x²在区间（0，+∞）上是单调递增的.

同样，你能说明为什么f(x₁)< f (x₂)吗？

（6）f(x)=x²在x=0处是增还是减？

函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减性的变化，不存在单调性问题。说明单调性是针对区间而言的.

（7）那么能否将区间（-∞,0）改为（-∞,0]，函数f(x)=x²在该区间上仍是单调递减吗？

都可以，不影响单调性，单调区间只要在端点有意义，开闭都可以.

（8）函数f(x)=|x|，f(x)=-x²+4x的单调性如何？你能仿照上述过程，用严格的符号语言进行刻画吗？

生：f(x)=|x|在区间（-∞,0] 上单调递减，在区间[0，+∞）上单调递增；f(x)=-x²+4x在区间（-∞,2]上单调递增，在区间[2，+∞）上是单调递减.

师：怎么判断的？

生：用图象，上升说明递增，下降说明递减.

师：图象法是判断单调性的一种方法.

那如何刻画y=f(x)在区间D上的单调性呢？请先归纳上述关于函数的单调性的刻画方法.

设计意图：通过问题串，启发学生思维.经历研究函数单调性的过程是:引导学生从具体函数出发，先观察图象特征到用自然语言描述，再到能用数学符号语言刻画，从而抽象出函数单调性的定义，最后会进行单调性判定 .在这一过程中，引导学生进行数学表达，抽象函数单调性的概念，经历从特殊到一般，具体到抽象的过程，提升数学抽象的素养.

2. 函数单调性的定义：

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I:

如果x₁,x₂∈D, 当x₁2时，都有f(x₁)< f (x₂), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果x₁,x₂∈D, 当x₁2时，都有f(x₁)> f (x₂), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.

思考：

（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀ x₁,x₂∈A，当x₁2时，都有f(x₁)< f (x₂),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？

辨析：如果函数f(x)满足f(1)

（2） 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

师：今后要谈函数的单调性时，必须指明相应的区间,单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质.

设计意图：问题（1）辨析定义中的“x₁,x₂∈D……都有…”，加深对单调性定义的理解，尝试突破教学难点.问题（2）是为了区别概念“单调递增”与“增函数”，“单调递减”与“减函数”，加深对单调函数这一概念的理解，注意“定义域上”这一关键词.

（三）概念应用,加深理解

例1 根据定义证明函数f(x)＝3x+2 是增函数.

分析：什么函数叫增函数？——函数在它的定义域上单调递增.那么这个函数f(x)＝3x+2的定义域是什么？——R，故只需证明在R上单调递增即可.那如何证明函数单调递增呢？只要在定义域R上任意取两个大小不相等的自变量的值，证明较大的值对应的函数值也较大，即设x₁2,去证明f(x₁)< f (x₂)，也就是要证明f(x₁) - f (x₂) <0.

归纳用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤：

第一步，取值:在区间D上任取两个自变量的值x

₁,x₂∈D，并规定x₁2 ；

第二步，作差变形: 作差f(x₁)－f(x₂)，并进行变形,到能判断整个差式符号为止，特别要注意因式分解；

第三步，定号：判断f(x₁)－f(x₂)的正负,要注意说理的充分性,必要时要讨论；

第四步，下结论：根据定义得出其单调性.

变式：请判断函数f(x)＝kx+b(k≠0) 的单调性.

设计意图：让学生熟悉利用定义对函数单调性进行严格证明的过程，利用作差后与“0”比较大小来比较两个函数值的大小，体会“化难为易”的数学思想，让学生掌握用定义证明函数单调性的基本方法，培养学生数学表达的严谨性以及书写过程的规范性.

例2 物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.

分析：怎样来证明“当其体积V减小时，压强p将增大”呢？根据函数单调性的定义，只要证明函数 （V∈（0，+∞））是减函数即可.

教师巡视，对学生证明中出现的问题进行点拔，再次强调四个步骤.依据学生的问题，给出下面的提示：

（1）处理分式问题一般是进行通分，判断好这几个k,V₁V₂,V₂-V₁ 式子的符号；

（2）除了作差比较大小，还可以用作商的方法，比较 与1的大小即可.

师：我们可以用数学知识去解决物理问题.

设计意图：例2是物理学中的一个公式，建立物理意义与函数单调性的联系，让学生体会到函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，通过研究函数的性质可以获得事物的变化规律，从而认识到学习数学知识的重要性，再次强化代数证明单调性的一般方法，培养学生的数学运算、逻辑推理等素养.

探究：画出反比例函数 的图象．

（1）这个函数的定义域I是什么？

（2）它是减函数吗？

生甲：函数的定义域是（-∞,0）U（0，+∞）.因为 在（-∞,0）以及（0，+∞）上都是单调递减，所以它在定义域（-∞,0）∪（0，+∞）上单调递减.

生乙：如果取x₁∈（-∞,0），x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂显然成立，但是f(x₁)＜0，f(x₂)>0，显然有f(x₁）<f(x₂)，而不是f(x₁)>f(x₂)，所以这个函数不在整个定义域内单调递减，不是减函数.

师: 在区间（-∞,0）和（0，+∞）内都是单调递减，因此在函数的几个单调增(减)区间之间不要用符号“U”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，不能写成闭区间.

辨析：如果函数f(x)在区间(1,3) 和[3,5]上都单调递增，则函数在区间 (1,5]上一定也单调递增吗？

设计意图：通过这道探究题，可以知道函数的单调区间不能简单合并，以后的应用中要避免这种错误的操作,从而进一步加深对概念的理解，区别“单调递减”与“减函数”，再次突破难点“x₁,x₂∈D……都有…”.同时又可以调动学生参与讨论，让学习氛围更加浓厚，从而培养学生的发散思维，使学生形成优良的学习习惯.

（四）课堂总结，提炼升华

通过本节课的学习，你有什么收获？

（1）什么叫函数的单调性？判断单调性的方法有哪些？证明单调性的步骤有哪些？

（2）通过本节课的学习，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？

设计意图：让学生再次把握函数单调性定义的要点，理解“任意”、“都有”的含义.体会从定性到定量的研究思路，经历数学抽象的过程，认识，表达，理解函数的单调性的概念，体会从特殊到一般，具体到抽象的思想.

六、目标检测设计

1.（课本P79第1题）请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

答：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低，由此可见，并非是工人越多，生产效率越高.

2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性，并给出证明.

（1) f(x) = 2x²+4x-6 ; （2）f(x) =

3. （课本P86第9题）设函数y=f(x) 的定义域为I，区间D I，记 证明：

(1) 函数 y= f(x) 在区间D 上单调递增的充要条件是： 都有 ；

(2) 函数y= f(x) 在区间D上单调递减的充要条件是: 都有 .

设计意图：目标检测练习，巩固提升，3个问题检测的目标有所不同.第1题，在于对函数图象的直观感受来理解概念，并学习用数学知识来解决实际问题.第2题是先从形上判断单调性，再用定义严格证明，考察定义证明的步骤和方法.通过练习加深对概念的理解，熟悉单调性的判断方法，达到巩固知识的目的，同时强化解题步骤，提高解题能力.第3题给出了函数单调性的等价形式，它可以简化判断单调性的过程，也为以后研究平均变化率与导数提供了基础，学生可以掌握.

七、教学反思

本节课先从一个温度变化入手，再通过分析熟悉的二次函数的变化趋势，让学生直观感受函数的单调性。再通过多媒体演示动画，结合一个个的问题铺垫，引导学生积极思考，总结归纳，逐步形成单调性的概念。然后通过具体的例题与练习分析让学生总结单调性的判断方法与书写步骤，以达到巩固函数单调性的目的。通过目标检测环节， 反馈教学效果，方便查漏补缺。但是在教学中，还是有些学生对于定义中的“任意……都有” 的理解有些困难，在概念辨析过程中，第一个思考小题设计太过抽象，学生理解不到位，需要改进。

八、改进

在加深概念的理解过程中，问题的设计需要通俗易懂一点，如思考（1）改为：“设集合AD，而且∀ x₁,x₂∈A，当x₁2时，都有f(x₁)< f (x₂),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？”，此环节还需增加学生相互讨论的时间，让学生多举例，积极合作展开探究。

在教学过程中，可以多渗透数学概念如何学习，为后面的教学打下铺垫。

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