模型思想的感知、建构、辨认和应用——人教版《植树问题》教学实践与思考

模型思想的感知、建构、辨认和应用 ——人教版《植树问题》教学实践与思考

余佳慧

杭州市萧山区河上镇大桥中心小学

【摘要】植树问题这个单元的数学内容，贴近学生的生活经验，如何用模型思想来解决这一类“植树问题”，我们认为重要的是让学生经历和体验知识的形成过程，所以在课堂教学中，通过经历“唤醒经验——感知模型——构建模型——辨认模型——应用模型”这样的五个环节，同时始终沟通“线段图”与算式之间的关联，帮助学生直观理解棵树、段数、间隔数之间的关系，并自然的搭建植树问题的三个数学模型。

【关键词】模型 植树 线段图

一、基于教材和学生现状的分析

人教版五年级上册第106页，是数学广角单元关于《植树问题》的学习。这个单元主要的学习的内容有两个方面：在一条线段上植树（分两端都栽、两端都不栽和只栽一端）和在一条首尾相接的封闭曲线上植树（本质上属于只栽一端的情况）。教材借助生活中常见的植树情境，用线段图进行抽象，让学生从中发现规律，并抽取出三个数学模型：两端都栽=段数＋1，两端都不栽＋段数－1，只栽一端=段数。
考虑到这个单元的目标集中于建立“模型思想”，并运用“模型思想”解决生活实际问题。所以我们把单元的第一课时从感知模型、建构模型、辨认模型、运用模型四个方面进行教学。那么学生在学习植树问题之前，已经积累了哪些相关的生活经验？具备了哪些知识与技能基础呢？笔者在学习新知识之前，对班级学生进行了前测，题目是：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

在前测问卷的基础上，我们也分别访谈了三种解题的部分学生，他们回答如下：

学生1：求多少棵树，就是求一共有多少份，我用100米除以5米就可以了；

学生2：我想100除以5求出了多少棵树，而括号里的两端都栽，那么就要再加上2棵树，这样才是一共的棵树；

学生3：我在脑子中进行了栽树，100米除以5米等于20棵肯定是一个方面，就是两端都栽，我感觉要再加1棵；

学生4：我是数学思维训练课的老师教我的，两端都栽树的话，就是等于“段数＋1”。

根据学生的前测和访谈，我们发现学生头脑中有一些“植树问题”的生活经验，以及知道“求份数=总数÷每份数”的数学经验，但是无法清楚、准确的建立“棵树=段数±1或棵树=段数”模型，所以也就没有办法解决实际问题了。基于“感知模型、构建模型、辨认模型、运用模型”的环节设想，我们进行了课堂实践。

二、体验模型思想的课堂实践

（一）唤醒经验

1.学生编写一道用除法解决的一步计算数学问题

2.出示学生编写的两个数学问题：

（1）20元，平均每人分5元，可以分给几个人？

（2）20米，平均每5米分一段，分几段？

学生：20÷5=4个；20÷5=4段

教师：要解决的两个数学题目不一样，为什么都能用除法算式“20÷5=4”表示呢？

学生：这两题都是平均分的数学文能提，我们可以用“份数=总数÷每份数”进行列式计算。

3 .出示线段图

教师：如果借助线段图来理解，你能解释一下这幅图和算式“20÷5=4”的联系吗：

学生：5米分一段就是5米一段，20米里面有4个5米，就有4小段，就是图中的第1段，第2段，第3段，第4段。

4.小结：像这样平均分的问题，我们都可以用除法解决。

【反思】以开放的视角让学生自主编写除法计算的数学问题，旨在唤醒学生的生活经验，教师有选择的安排“平均分”的几个生活情境，并尝试沟通“线段图”和算式之间的关联，让学生初步建立起“段数=总长度÷每段长度”的数学模型。

2. 模型感知

1.研究生活中的植树问题

1. 出示“排排队”问题：小朋友排成20米长的1列纵队，每隔5米站一人，一共有

几人？

①师生梳理信息：每间隔5米站1个小朋友，一列纵队有排头也有队尾。

②学生排队演练：排头站1人，间隔一段距离（看成间距是5米）站1人……学生重点关注三个信息“间隔5米，4个间隔，一共站了5个人”

③把排队过程用线段图表示出来

④结合线段图列出算式20÷5＋1=5人。20÷5表示20米，每隔5米分一段，一共可以分4段（5米×4段=20米），4段刚好可以站4个人，再加上排头或排尾的这个人，一共是

5人。

（2）出示“锯木头”问题：一根木头长20米，每5米锯一段，需要锯几次？

①梳理数学信息，木头总长20米，每段长5米，要求锯了几次。

②学生自主画图，并列算式

学生1：要锯5次（指着线段图说，1次、2次、3次、4次、5次）

学生2：我认为只要4次，（指这线段图说，1次、2次、3次、4次）

学生3：只要锯3次，因为开头不用锯的，最后的的也不用锯的

教师：头上和尾部要锯吗？也就是说锯木头只要在中间锯就可以了

（3）比较排队和锯木头问题的联系和区别

联系：排队和锯木头这两个问题也是用除法解决问题（20÷5）

区别：要考虑开头和结尾的实际情况，排队问题中开头和结尾都要站人，而锯木头问题中开头和结尾都不用锯的。

（4）小结：以前我们研究的除法解决问题，段数就是结果，今天我们要研究的除法解决问题，结果要根据实际情况进行判断：除法算出来的是段数，排队的时候人数要比段数多1，而锯木头的时候锯的次数要比段数少1。

【反思】以学生比较熟悉的“排队”和“锯木头”展开研究，同时结合直观的现场排队和画图展示，学生理解了算式中20÷5表示4段，而根据生活实际情况，会出现4＋1和4－1的不同情况。两个生活问题，不仅有线段图的比较，也有算式的比较，更有生活经验的比较，学生学的既直观形象，又有理有据。

（三）构建模型

1.解决问题：20米的小路，每隔5米种一棵树（两端都种），共栽几棵？

（1）学生自主画图，并列出算式

（2）概括结论：棵树=段数＋1

2.比较问题：20米的小路，每隔5米种一棵树，共栽几棵？

（1）题目与刚才又有什么不同？你有什么想提醒大家的？

学生1：少了“两端都种”这句话

学生2：要考虑开头和结尾要不要种树

学生3：一共栽几棵树的答案不一定了

（2）思考：可能是什么情况导致开头、结尾不用种？生活中有这样的情况吗？

（3）把两端都不种的和一端不种的情况画下来。并算一算要栽几棵树？

（4）汇总学生的画图和算式：

①第一种情况和排队问题是一样的，属于两端都种的情况，棵树比段数多1；

②第二种情况和以前用除法解决问题是一样的，只种一端，棵树和段数相等；

③第三种情况和锯木头是一样的，属于两端都不种，棵树比段数少1。

【反思】从排队问题、锯木头问题，到学习植树问题，学生已经有了三个经验：画线段图、考虑生活实际情况、段数人数（或次数）的对应。所以在构建模型环节中，充分让学生自主讨论植树问题的不同情况，以及自行画线段图和列算式，并构建出“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”三个模型。在教学中，三种情况需要进行对比异同，同时三种情况也要跟排队和锯木头问题进行对比，这样构建的模型才能融会贯通。

（四）模型辨认

1.唤起数学与生活的联系：植树问题除了种树，还可以是排队，锯木头等等，你有在生活中碰到植树问题吗？

2.辨认植树问题：小区门口的路桩、地铁站点、房屋高度、马拉松服务点、千纸鹤挂件手指间隔等。

【反思】对生活的情况进行辨认，一则让学生感受到植树问题的普遍性，体会数学与生活的联系紧密，二则通过辨认，加深学生对建立起来的三个模型印象，沟通好模型、直观图、线段图、算式之间的相互联系，给学生一个立体、丰富的学习资源。

5. 模型运用

1.学生自主完成题目，同组交流。

2 .课堂小结

（1）结合板书内容，谈谈这节课的收获？

（2）生活中还有其他的植树问题吗？

如封闭一圈的图形（长方形、正方形、圆形）

中进行种树（装路灯）的问题等等

三、回归闭环过程的深度反思

（一）突出学生为本。在开展植树问题的前测中，我们发现大部分学生只会用除法解决问题，但没有进一步用画图的方式进行验证，也没有考虑生活中头尾兼顾的实际情况，其本质上暴露了学生思维处于低层次的做数学阶段。为了突破这种思维习惯，在课堂实践中，我们围绕“20÷5”这个算式，从学生身边熟悉的情境出发，不断唤醒学生结合实际情况来解决问题。同时让学生加强比较，排队、锯木头和平均分比较，排队和锯木头进行比较，排队和两端都种树比较，锯木头和两端都不种进行比较……每一次的比较，都冲击学生的思维，找出每一次比较中的联系和区别。而且我们还沟通了图形表征、算式表征、语言表征三者的关系，让每一位学生编一编、问一问、画一画、算一算、说一说、验一验……突出了“学生为主体”的课堂教学，使得学生的学习积极主动，思考深入。

（二）构建模型思想。选择“植树问题”来构建模型，既是考虑学生的生活基础，也是结合线段图的呈现，在课堂实践中，我们进行“感知、构建、辨认、运用”闭环式的过程体验，让学生看见模型的景和图，知道模型的形和式，运用模型的通和变。通过多种情境，多幅线段图，多种生活实际需要，先构建“段数”、“段数＋1”、“段数－1”三种模型，由此实现了化繁为简的运用模型思想解决这一类问题的策略。当然在本节课中，我们没有“速成”的归纳出三个模型，而是重视学生观察、学生操作、学生交流等活动，旨在培养学生的实证研究态度和科学探索精神，不为构建模型而构建，只为学生的学习兴趣和学习品质。

（三）解决实际问题。从平均分引入课堂，解决了排队、锯木头、植树的实际数学问题，再拓展到生活中的设置站点、路桩、房屋楼层等生活情境，目的就是让学生感受到数学从生活中来，发现的数学规律又可以解决生活动的实际问题。在知识的形成过程中，我们聚焦的是线段图、算式和模型，变化的是不同的生活情境，在巩固联系环节，我们变化的是模型中的每个元素——求总棵树的、求每段距离的、求总长度，聚焦的是学生自然的画线段图感知和验证，聚焦的是直观理解基础上的交流分析，聚焦的是感受到模型的变与不变，进而在解决不同情境、不同问题的一类“植树问题”，切实提高学生高阶思维能力。