用模拟法描绘静电场

用模拟法描绘静电场

刘善生

陕西省合阳县第二高级中学 物理

摘要: 用模拟法描绘静电场:静电场与稳恒电流; 同轴带电圆柱体间的静电场; 聚焦电极的电场描绘

关键词: 模拟法;静电场.

在物理实验中，往往会遇到一些难以直接测量的物理量，通常的办法是用容易测量，便于观察的量代替它，并找出它们之间的对应关系并进行测量，这种实验方法叫模拟法。

一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟两类。物理模拟就是人为制造的模型与实际研究对象保持相同物理本质的模拟。例如，为研制新型飞机，利用风调来研究飞行模型在大气中飞行时的动力学特性。数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是指两个物理本质完全不同，但具有相同的数学形式的物理现象或过程的模拟。本实验就是用电流场来模拟静电场的。

1. 静电场与稳恒电流场

模拟法的基本思想：仿造另一个场（称模拟场），使它与原来的静电场完全一样，当探针伸入模拟场进行测量时，原来的场不受干扰，而电流场恰好满足这个基本思想。

稳恒电流场与静电场是两种不同性质的场，但是它们两者在一定条件下具有相似的空间分布，即两种场遵守规律在形式上相似，都可以引入电位U，电场强度，都遵守高斯定律。

对于静电场，电场强度在无源区域内满足以下积分关系

对于稳恒电流场，电流密度矢量在无源区域内也满足类似的积分关系

静电场与稳恒电流场的这种相似性给人们一个启示。如图7-1（a）由几个电势为U₁、U₂、U₃的带电体激发的静电场中P点的电势为U时；那么，将形状与带电体相同的良导体置于导电介质中的相同位置，加上直流电压，使它们的电势也是U₁、U₂、U₃[图1（b）]，则在导电介质中对应P点位置的P¢点的电势U¢将和U相同，反过来如果测量出稳恒电流场中P¢点的电势为U¢，则相应静电场中P点的电势U将和U¢相同。这表示通过测量稳恒电流场的电势分布可以了解相应静电场的电势分布，实验结果表示这样模拟是恰当的。

图1

概括起来有以下几方面原因：

（1）．首先，根本原因是静电场和电流场所遵守的规律在形式上有相似性．如静电场的基本规律：高斯定律、拉普拉斯方程等，对稳恒电流场也适用，所以两种情况下的电场分布是等同的，知道了其中一个场的电场分布情况就可以代替另一个电场．所以我们对容易测量的电流场进行研究，来代替不易测量的静电场进行研究。

（2）．电位的相似性．虽说两种场不同，但对两个场都引入了电位的概念．如果某一静电场是由几个带电体组所产生的，每个带电体的位置形状以及电位V₁，V₂…均已知，那么我们可以把同样形状的良导体，按同样的位置放在电介质中，使它们的电位也为V₁，V₂…，这样得到电流场内任意一点P′的直流电位V^´，跟静电场中对应点P的静电电位V完全一样，而直流电位很容易用伏特计测出，对应的静电场电位也就确定了。

（3）．电流线与电力线很相似．当把同样电极放在导电介质上的同样位置上，加上相应的电压时，则导电介质中各点有相应的电流流过，每一点的电流密度j与该点的电场强度成正比，且方向相同，即遵守欧姆定律的微分形式：j=σE。其中，E是电介质内的电场强度,σ是电介质的电导率,其倒数是ρ称为电阻率。

于是在此电介质中，由于电荷运动所形成的稳恒电流线与上述电场中的电力线就有相似的形状．因此可由电流线的分布来模拟电力线．采用稳恒电流场模拟静电场是需要一定条件的，即：

（1）电流场中导电介质分布，必须与静电场介质分布相对应．若模拟真空场，则模拟场的电介质必须均匀；

（2）要模拟的静电场中的导体如果表面是等位面，则电流场中的导体也应是等位面，这就要求采用良导体制作电极，而且导电介质的电导率不宜太大，若太大就会造成在良导体的电极上有分压，而良导体表面不再是等位面；

（3）测量导电介质中的电位时，必须保证探针支路中无电流流过，以保证电流场不发生畸变．

2．同轴带电圆柱体间的静电场

如图2，设内圆柱半径为r_a，电势为U_a；外环内半径为r_b，电势为U_b，则静电场中距离轴心为r 处的电势U_r可表示为：

又根据高斯定理，电荷均匀分布的无限长圆柱体的场强大小为

式中C由圆柱体上线电荷密度决定。由以上二式可得

由于r=r_b处，U_r=U_b，即

则

取U_a=U₀，U_b=0，整理后得

或写成 （1）

现根据模拟原理，讨论稳恒电流场的分布（如图7-3）。取厚度为t的圆柱形同轴不良导体片为研究对象。设材料电阻率为，则任意半径r到r+dr的圆周间的电阻是

则半径为r到r_b之间的圆柱片的电阻为

图7-3 同轴电缆的模拟模型

总电阻为（半径

r_a到r_b之间圆柱片的电阻）

设U_b=0，则两圆柱面间所加电压为U_a，径向电流为

距轴线r处的电位为

（2）

由以上分析可见，U_r与U¢_r，E_r与E¢_r的分布函数完全相同。可知，在同轴圆柱面之间建立一个静电场或电流场，如果柱面间静电电位差和直流电位差相同，则在两种场中对应点有相同的电位。

用一般仪表直接测量带电体在空间形成的静电场是非常困难的．因为仪器的探针一旦引入静电场，将在探针上产生感应电荷，这些电荷又产生电场，使原静电场改变．为了解决这个问题，可以采用静电仪表进行测量．人们通常也采用用电流场模拟静电场的方法进行测量．因为电流场很容易测量．用电流场模拟静电场是研究静电电场最简单的方法之一．

3．聚焦电极的电场描绘

利用教材P39图3-2-3所示模拟模型，测绘阴极射线示波管内聚焦电极间的电场分布．要求测出7-9条等位线，相邻等位线间的电位差为1伏．该场为非均匀电场，等位线是一簇互不相交的曲线，每条等位线的测量点应取得密一些．画出电力线，可了解静电透镜聚焦的分布特点和作用，加深阴极射线示波管电聚焦原理的理解．

由于导电微晶边缘处电流只能沿边流动，因此等位线必然与边缘垂直，使该处的等位线和电力线严重畸变，这就是用有限大的模拟模型去模拟无限大的空间电场时必然会受到的”边缘效应”的影响．如果减小这种影响，则要使用”无限大”的导电微晶进行实验，或者人为地将导电微晶的边缘切割成电力线的形状．测量时，探针每次应该从外向里或者从里向外沿一个方向移动，测量一个点时不要来回移动测量，因为探针能够小幅转动，向前或向后测量同一点会导致打孔出现偏差。