浅谈高中三角函数解题技巧

浅谈高中三角函数解题技巧

王泽亮

贵州省黄平民族中学

【摘要】:高中的三角函数，是初中几何学习的有效延伸，也是义务教育阶段数学科目的重要学习内容。对于学生在高考当中管是否能够获得较高的分数、取得佳绩具有非常重要的作用。作为高中数学的重要内容，三角函数也是学生继续深造所必须掌握的基础知识。因而高中生对其定义的掌握、对其应用能力的获得也是学生高中阶段数学学习的重中之重。因此，全面分析其定义、总结一般的解题错误类型、分析常见的解体技巧，不仅能够帮助考生全面领会基础知识之间的连带关系，从而达到基础知识与技能的巩固，更能强化其数学思维以及运算能力。

关键词：高中数学、三角函数、解题技巧、思维能力

引言

在初高中阶段的数学学习内容当中，没有任何一个部分能入三角函数一般，给人充分的想象空间，并让人体会到数学学习的乐趣。然而实际上，高中阶段的三角函数，又是让许多学生头痛的一个存在，及基本的平面代数的思维，在这里要上升到一个三维的维度，这是对高中学生空间想象能力一个非常严峻的考验。那么实际上，三角函数并不像我们想象的这样让人头疼，只要充分了解其基本原理，料及一定的解题技巧，我们就能够捷足先登，本文罗列了一部分比较经典的三角函数解题技巧，期待能给我们的考生们一些启发和借鉴。

一、三角函数的基本概念与定义

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形两边的比率，也可以等价地定义为单位圆上各种线段的长度。更现代的定义将其表达为无穷级数或者特定微分方程解并允许他们扩展到任意正负值，甚至是复数值。

二、三角函数常见解体技巧

2.1 函数关系的巧妙利用

2.1.1

我们可以由 得到 ，从而推出 ，范例如下：

已知 。

解：∵

故：

2.1.2关于与的关系应用

由于₌

故： ， 三者中知其一可推出其余式子的值。

因此，通过上述例子，我们可以知： ， 及 之间的关系可以相互转换，知其一比知其余二，此性质适用于隐含此三式的三角式计算。需要注意的是，如已知 来求含 的式子，须首先定位其象限，从而确定结果的正负。

2.2 “托底”方法的应用

在化简、计算或者证明三角函数时，往往需要进行分母的添加，该方法常用于含 的式子的互化，此种添配分母的方法叫做“托底”法，范例如下：

已知： ，求

分析：须将式子化成含有 的形式，式子本身没有分母，利用公式： 及托底法托出其分母，其解如下：

解：

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子的互化。由于 ， ，进行互化的时候需“托底”，添加分母并保持式子数值不变从而进行适当的转化，从而根据已知条件求得正解。分母添加主要有两种方式：一是用 ，把 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

2.3 巧妙运算

在三角函数的解体过程当中，根据条件的结构特征，我们可以通过适当的运算对函数进行简化、变形，从而实现思路的简化。此处需要考生运算技巧的巧妙性，具体范例可分析如下：

2.3.1 巧妙的乘除运算

如：已知 ， ，求 的值。

解析：从式的结构特征，我们可将式变形为 ，式变形为 ，先将两式两边平方并相加，可得

又如： 已知 ， ，求 的值。

解析：从条件中两式的结构特征出发，我们可对其左端进行和差化积： ， ，因为 /从而得到：

在三角函数解题中，灵活运算技巧如“乘除、乘方、加减”等，长可以为我们提供构造公式应用的条件，连接分先的函数关系，因此解题过程可以大大简化，也更为巧妙。

2.3.2 参数引用的巧妙性

如：求证：

分析：从 一式的结构特征，我们可以进行数列性质的联想，不难发现： 成等差数列。设 则 命题得证。

又如：已知 求 的值。

解析：由平方关系式得： 成等比数列。于是利用等比数列的性质可以设元： 则原=

一类三角函数问题，需要我们仔细观察其条件与待求结论的特征，从而发现其隐含性质，并通过对这些性质的隐参转化，找到解题的思路。

2.3.3 常数引用的巧妙性

如：在 中，已知 求证： 为定值。

分析：通过结构观察，我们可知其含有常数 可以此常数 为入手点，将

代入待证式，可得：

原式

原问题便简单得以证明。

又如：已知正数 和实数 满足 求证：

分析：现将条件中的常数“1”换成 代入条件中整理得：

亦即

2.4 巧用公式：

2.4.1 “给角求值”类问题，巧用诱导公式：

如区间（-90o，90o）内一步转换到位的公式，具体范例如下：

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

2.4.2 “sinα±cosα”类问题，巧用三角“八卦图”：

如：sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

2.4.3 见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数

如：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），此处需要注意不同象限内的函数符号正负差异。

2.4.4“见齐思弦”，“化弦为一”：

如：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

2.4.6巧用“平方差”公式：

这一方法适用于“正弦值或角的平方差”形式当中，如：

sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;

cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

三、结论

三角函数是义务教育初中阶段，数学教学当中的一个重要内容，是综合体现学生的空间想象能力、空间思维能力以及逻辑思维能力的一个重要教学内容。其基本思想一直到当前高考阶段的“向量“”教学部分都仍然有十分大的比重。因此，学好三角函数，是学好初高中阶段数学的一个重要基础，而初中阶段的三角函数，则可以为高中阶段的基础和初级阶段，所以，要学好高中三角函数，对初中的集合一定要给予足够的重视，从而打好自己在这一阶段的三角函数的学习基础。

从具体学习内容方面来说，三角函数不仅具备一般函数的各种性质，还具有周期性、对称性等，结合丰富的三角公式，能够产生各种各样丰富多彩的问题。学生对这些知识与能力的获得，是其高中数学学习的重中之重，也是关键一环。掌握这类问题的解题技巧，不仅能加强知识体系的连贯性，更能提高学生的数学思维能力以及运算能力。

参考文献

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[2] 创新教育对数学教师的能力的要求 中国数学教学参考 2006.12

[3] 陈九香 浅谈三角函数的诱导公式 2007.12

[4] 喻俊鹏.创新教育对数学教师能力的要求 中学数学教学参考 2000

[5] 《高一数学必修4》 人民教育出版社 2007.12

[6] 世纪金榜高中全程复习方略 延边大学出版社 2006