微积分在高中物理教学中的应用

微积分在高中物理教学中的应用

杨洪伟

济南市平阴县第一中学 邮编 250400

摘要：众所周知，物理和数学紧密相连。由于物理中很多的原理和规律都需要用到数学公式的推导，因此物理这门课能够学好的重要前提是学好数学。实施新课程改革要求学生充分利用数学，解决实际中的物理问题。在高中数学中，微积分知识的普及是高中物理教育顺利发展的良好基础。加强对微积分知识的认知，提高学生的数学应用能力是掌握解决物理问题的关键。

关键词：微积分；高中物理；应用研究

0 引言

物理知识的学习需要良好的数学基础。物理问题越是接近现实，需要解决的问题越复杂，必要的数学知识就越抽象。例如对于复杂的变量问题和连续性模型问题的求解，需要学生掌握高等数学中的微积分知识。例如，为了解决复杂的变量问题和连续模型问题，学生必须掌握高等数学中的数学。但是，较低年级的高中生往往对抽象的数学概念和算法的认知只限于认知水平，从而使他们在解决物理问题时机械照运，缺乏灵活运用的能力。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

一、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？

例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

【解析】现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式 就可以求得汽车走了0.025公里。

但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即 。

【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系 ，从开始刹车到停车的时间t=5s，所以汽车由刹车到停车行驶的位移。

小结：这个问题是一个寻求匀变速问题的位移问题。关于一般的变速线性运动，只要将物理知识结合起来，就可以得到相对于时间的速度函数。从而绘制V-T图像并利用“面积”知识来求位移。此外，还可以用积分来进行求解。

二、解决变力做功问题

恒力做功，我们可以利用公式直接求出 ；但对于变力做功，我们如何求解呢？

例2、如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为 ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。

图2

【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，如图2所示，本题不能简单的用 来求。

图2

可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在 的足够短圆弧上，△S可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做的功之和可表示为：

又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：

综合以上各式得：

故摩擦力对车所做的功为

【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力 ，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

小结：这个问题是一个复杂的做功工作问题，很难直接通过公式来寻求答案。使用微积分的思想，可对对象的运动进行无限细分。在每个位移微元件内，力的变化量很小。这种微小的变化可以忽略不计，并且可以考虑物体在恒定力下的运动。将位移内的功相加，即“无穷求和”，则总功即可求得。

三、解决物体质量问题

对于密度均匀的物体的质量 或 、 ，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法。

例3、一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量。

【微积分解析】建立如图3所示的坐标系

图3

则

小结：高中物理学中有很多例子，例如瞬时速度，瞬时加速度，感应电动势，重力势能等，都能够利用微积分的思想来解决。所有这些例子都有其共同点。作为大学知识的高中应用，尽管高中对微积分不做必须的掌握要求，但其思想贯穿于整个高中物理。“微积分思想”能够使我们处理高中物理问题更加得心应手，才能拓宽我们解决物理问题的的思维。因此，在学习高中物理时，我们必须学习这种研究问题的思维方式。只有这样，我们才能在紧张的学习中以一半的努力获得两倍的结果。

四、总结

本文概括地分析了微积分在解决高中物理问题中的相关应用，阐述了微积分解决高中物理问题的可行性，以案例的形式为利用微积分解决高中物理问题提供了基础。本研究发现，为了更合理地运用数学，学生必须根据物理问题的实际内容，选择恰当的方法来解决问题，了解如何平衡微分与积分之间的关系，从而改善微分与积分之间的协调利用。只有这样，才能在解决高中物理问题时提高微积分知识的操作性，才能让微积分成为解决高中物理问题的有力工具。

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