由《角平分线成比例定理》证明方法引发的思考

由《角平分线成比例定理》证明方法引发的思考

李兆明

青岛市崂山区第三中学

初中数学学习要注意数学思想方法的积累、总结与应用，在学完三角形的相似之后，结合所学的知识，巧妙运用数学思想方法探究一个学生感兴趣的问题。

对于角平分线，初中阶段比较常用的性质有两条，一是角平分线定义：从一个角的顶点引出的射线，把这个角分成两个相等的角；二是角平分线性质定理：角分线上的点到角两边的距离相等。在数学初高衔接知识中，还有一条关于三角形角平分线的性质定理非常重要，

“三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例”，这条性质定理的证明需要添加辅助线进行思考，对学生的思维有一定挑战，在定理的证明过程中引发了笔者的一些思考：

已 知：如图1， 为 的角平分线.

求证：

图1

此题问题的解答需要添加辅助线，对学生的思维有一定挑战，将学生的部分解法进行整理，大致有以下几种：

1.从条件出发，根据学生已有的知识经验，看到角平分线，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，所以想到作出两条垂线段，由垂线段得到两条高，由高想面积问题。

等 面积法

证明:如图2，过点 作

则由定理2得，

∵ ，

∴

过点 作 ，垂足为_图2

∵ ，

∴

∴

思路解析：由“角分线上的点到角两边的距离相等”引发思路，过点 点向角两边作垂线段，生成高线以后即与三角形面积相联系，思路转化为等面积法，由总面积等于部分面积之和推导出需过顶点 作出 的高线 ，进而用等面积法建立等式。

_{2.从结论出发，要得到边的比例问题，首先考虑的是三角形相似，所以从添加辅助线构造三角形相似入手，选择以下几种想法：}

_{2.1作平行线构造相似三角形}

_{2 .1.1利用平行在三角形外部构造相似}

①如图，过C作CE∥AB，交AD的延长线于E

则∠1=∠E，∠3=∠B

∵∠1=∠2

∴∠2=∠E

∴AC=AE

∵∠1=∠E ∠B=∠3

∴△ADB ∼ △EDC

∴

∵ AC=AE

∴

2.1.2

方法三：利用平行在三角形内部构造相似

③ 如图，过点D作DE∥AB，交AC于E

∴∠1=∠3，∠4=∠B

∵∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴AE=DE

∵∠C=∠C，∠4=∠B

∴△ABC ∼ △EDC

∴ 图4

∵

∴ （1）

由相似知

∴

由（1），

∴

思路解析：方法二、三有异曲同工之妙，基于结论形式“ ”，容易让人联想到构造三角形相似来进行证明，而构造相似最常见的方法就是构造平行线，利用平行线性质得到两角相等来证明两三角形相似，为涵盖结论中出现的线段，两种方法分别从点 、点 出发进行构造。

3.无论从条件出发还是从结论出发，我们思考的都是原比例的问题，换个角度想想，如果转化某条线段，就可以变成另外一个比例的问题。于是我们想到可以从AB上截取与AC相等的线段，利用转化的思想解决此问题。

图5

思路解析：方法四是基于角分线定义：“从一个角的顶点引出的射线，把这个角分成两个相等的角”进行思考，将 翻折后， 与 两边会重合，点 落在 边上一点 ,不难发现 与 等高，利用面积之比等于底之比即可建立对应线段之间联系.

设计说明：

一、立足知识，精简选题

几何图形的研究往往的是枯燥无味的，笔者力求寻找学生感兴趣的几何问题，在学生已经掌握了角平分线的基本性质的基础上，给学生一个简洁明了的图形，简明扼要的条件，研究角平分线分线段成比例的事实。让学生有一种跳一跳就可以够到桃子的感觉，接近学生的最近发展区。基于基本图形，激发研究欲望，乐于探究事实。

二、巧妙思考，多维合一

从已知条件出发，根据已知条件进行有理有据的分析，不断向所求结果靠拢即正向思维；从结论出发，探索解决问题的办法即逆向思维；有的时候从结论很难分析出思路，可以把已知和结论相结合，即正逆结合的思维。解法一、四是从已知条件正向推理，根据所给图形的性质添加相应辅助线，逐步进行推理；解法二、三是从所要证明结论的形式逆向思考，探究使结论成立的充分条件，进而添加辅助线构造相似图形进行推导，两种思路很好的诠释了数学综合法与分析法的特点.对于某些题目，如果找不到解决办法时，不妨换个角度想一想，也许会有“柳暗花明”的效果。

三、综合知识，提高能力

不难发现，解决本题的前提是会巧妙地添加辅助线，而能够准确添加辅助线解题的原因有两点：一是基础知识扎实，能够准确地掌握相关图形的性质，为解题提供了必备工具；二是能够运用“综合法”或“分析法”进行推理与思考，为解题提供了方向。教师在初中数学教学中，在注重基础知识教学的同时，还要多学生解题思路的引导，适当加强两种解决数学问题方法的教学，培养学生数学推理能力。

四、提炼方法，提高素养

这道看似简单的题目，但很多同学感觉无从下手。在解决问题的过程中，笔者认为帮助学生总结经验、提炼方法至关重要。比如转化的思想、等面积的方法、常用添加辅助线的方法、相似模型、角平分线模型、截长补短模型等，“不积小流无以成江海”，在以后的教学中，不仅要重知识的研究，也要注重思想方法、基本模型的总结，从而提高学生的数学素养。