化二次型为标准形的方法探讨

化二次型为标准形的方法探讨

王家琰

应县第一中学 山西省 朔州市 037600

内容摘要:二次型是高等代数中重要组成部分之一，化二次型为标准形是对二次型进行研究与应用的重要基础。

本文首先给出了化二次型为标准形的一些基本理论，有二次型的定义和标准形的表示方法。其次，对化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法，和雅可比方法进行了例题分析与方法总结，其中这四种方法的应用与总结是本文的主要部分。最后，对以上四种方法进行分析比较，易错分析，针对不同的类型指出相应的方法，使得在化二次型为标准形时更加简单方便。

【关键词】标准形 二次型 雅可比方法

Discussions on methods to transforming the quadratic form into the standard form

Abstract

Quadratic form is one of the important constituent parts in higher algebra. Transforming the quadratic form into the standard form is the important foundation for making research and application on quadratic form.

This article firstly introduce some basic theory for transforming the quadratic form into the standard form, including the definition of a quadratic form and representation method of the standard form. Secondly, throughout example analysis and methods summary, for this article conducts the methods of completing the square, elementary transformation method, orthogonal transformation method, and Jacobi method that transforms the quadratic form into standard form. The application and summary of the four methods is the major part in this article. Finally, for the above four methods,this article analysis and compare these methods, so that we grasp the methods of transforming the quadratic form into the standard form,more simple and convenient.

【Key Words】Standard Form Quadratic Form Jacobi Method

一、引言

二次型是高等数学中的非常重要的一部分。它不仅在数学上，而且在其他学科也有着非常显著地地位。把二次型变成标准形是对二次型研究的基础。将二次型化为标准形的方法很多，针对不同类型的二次型做不同的矩阵变换，用最简便的方法找出答案最为关键。

本文将介绍二次型、标准形的一些基本理论，主要研究把二次型化为标准形的一些方法以及解题步骤，并将各个方法运用到解题当中，对各种方法进行了归纳总结和应用。

二、理论基本

二次型的标准形是二次型经过非退化线性替换所得到的一个平方和的形式，本节也会给出标准形的表示方法.

（一）二次型的定义

在数域F中的字母 的系数所构成的二次齐次式 叫做一个（ 上的 元的）二次型。特别，当所有系数都是0时，称这个二次齐次式为零二次型.

1、一般形式：二次型的一般形式是

2、对称形式：如令 ， ，则可写成如下对称形式：

3、矩阵形式：令 其中 记

有 ，并且

其中二次型的对称矩阵为 .

（二）标准形的表示方法

一般情况下，对下列这种表示形式的二次型就是最简单的一种二次型：

二次型 如果经过满秩线性变换后，能够变成一个只含有平方项的二次型，那么，这样形式的二次型就是一个标准形.

三、方法总结及其应用

将二次型化简成为标准形的方法非常多，下面将给出我们平时经常用的三种：配方法、正交变换法、初等变换法和一种新型的雅可比方法，这种方法更具有针对性，用起来简单方便。并对各种方法进行归纳总结，给出具体的应用，使得熟练掌握各类方法的技巧.

（一）配方法

上一节内容已经介绍了什么是标准形，把二次型化简成为标准形的最基础的方法是配方法，也就是要通过配方找到完全平方项，从而得出最简的二次型。这种方法简单易行，但需要技巧，还要看清题意，根据不同的类型采用不同的措施.

在用配方法时需注意题中所给的二次型是否含有非零平方项.因此，在用这种方法可以按照以下程序：

1、如果关于 的二次型不含有带平方的项（通过交换足标，可以假定 的系数不为零），令 经这个非退化线性替换，原二次型变成一个含有平方项的二次型.

2、若 的n元二次型有平方项（则假定 的系数为零).那么让有 的项和在一起，并放入括号里，然后将 的系数放到括号外，为了得到一个完全平方项，在括号内进行配方即可.剩下的是一个 元的二次型.

3、最后，对这 元的二次型，重复以上过程进行操作，就可以得到一个我们想要找的标准形.

典型例题

例1：（有非零平方项）

根据以上操作方式将下面这个二次型

化简出它的标准形.

解：

令

即

a

由于 为非退化线性替换，

所以，经过 变换，

例2：（不含有带平方的项（即令式子中含有平方的单项式均为零））

用配方法将下述二次型化为标准形

解：如果要用配方法，就要能够配方.所以，要经过以下方式的替换变成含有平方的形式.令

则

令

即

记

所以有 ，可以看出

从而 是非退化线性替换，所以

即为所求.

注：配方法是化二次型为标准形方法中最基础的，容易让大家接受，操作过程非常清楚，方便易行，但是如果当二次型中所含未知量较多，所涉及的计算太难，一般算出来的结果容易出错，这种情况下将不用配方法.

（二）初等变换法

我们知道配方法虽然简单，是化二次型为标准形方法中的基本方法，但是想要用这种方法具有一定的技巧性，还需要我们多观察多练题型，那么对初学者来讲，具有一定的难度.所以下面来介绍另一种化二次型为标准形的方法.

定理：任意一个二次型 一定存在可逆矩阵 ，使 （对角矩阵）.因此构造 矩阵 对 的每一行施行一次初等行变换，同时对 相应地做一次同等的初等列变换，当把矩阵 化为对角矩阵时，此时矩阵 也将是一个可逆矩阵，记作 .从而得到 和 .

因此，通过这个变换可以将原来的二次型 化简称为我们想得到的标准形的形式.当然，这就是用初等变换法把二次型化简成为标准形方法的基本操作步骤，.我们可以看一下下面这个有关用上述方法操作的例题：

典型例题

例3：把下面这个二次型

化成标准形得形式

解：二次型 的矩阵为

对矩阵 作初等变换得

令 ，其中

则二次型化为标准形

注：矩阵的初等变换法比较简单而实用，且适用于元数较多情形，只是在做初等变换时应仔细认真，以免因马虎而致错.

（三）正交变换法

根据高等代数里所涉及的有关内容：将一个二次型化为标准形一般的方法是特征根法，得到的标准形是唯一的.下面来介绍正交变换法：

定理 任意一个 元二次型 （ 为实对称矩阵），总可以经过正交变换 （ 为正交矩阵）化为标准形

其中， 就是矩阵 的全部特征值.

就是通过正交变换得到的标准形.

下面是用正交变换法将二次型化为标准形得方法过程：

1、写出 其中 为二次型的矩阵形式，再求出 ；

2、求出 的所有特征值 ；

3、再求出特征向量 ；

4、把所求的 进行正交化，单位化，从而得到 ，记 ；

5、经过正交变换 ，可以得到 的一个标准形 .

典型例题

例4: 二次型 通过上述方法经过 化简为标准形.

解： （1）

（2）求其特征值：

由

得

（3）求特征向量:

将 代入

得

同样，将 代入

得到

（4）让上面所求的 进行正交：

取

得正交向量组：

将其单位化得：

作正交矩阵：

（5）故所求正交变换为

因此

正交变换法在几何中也有应用，例如：

例5：将下面这个二次型 用上述方法化简为标准形.并判断二次曲面 的类型.（用正交变换法）

解：二次型 的矩阵为

经计算求得 的特征值为 ，

并求出使 相似于对角矩阵的正交矩阵

经过 ，可得到所求的标准形为：

所以，得到

因此二次曲面 表示旋转双曲面.

注：正交变换法步骤清晰、按一定的顺序进行、比较稳定，除此之外，用正交变换法在解决一些题目时，通过正交变换后所得到的标准形的几何图形几乎保持原样，不会改变.这也是用这种方法来解决一些实际问题时的一大好处.

（四）雅可比方法

将二次型化简成为标准形的方法除了以上三种常用的以外，本节还提供一种新型的求解方法，是雅可比方法

引理：设二次型 （其中 ）中，若顺序主子式 ，都不等于零，

则二次型可化为标准形

例6： 请使用上述的雅可比方法化简下面的二次型

成为标准形.

解：

（其中 为 的顺序主子式)

由此可知，前 项的顺序主子式均不为零，根据上面结论可以用雅可比方法得

注：雅可比方法是一种新型的解决化二次型为标准形得方法，找准特征比较简单，便于执行，在进行顺序主子式的计算时要仔细认真.

四、总结

把二次型变为标准形的方法很多，本文只是给出四种方法进行剖析，除此之外还有偏导数法，顺序主子式法等.

配方法是化二次型为标准形方法中最基本的方法，通过配方寻找一个完全平方项，思路简单容易操作，但是具有一定的技巧性.在解化二次型为标准形的题目中还可以用其他方法，要依据题目特征，采取不同的方法对症下药，例如题目中要求要寻求一个正交变换，那无疑要用正交变换法来做会比较简便。再根据正交变换的步骤进行解题。如果二次型中的变量较少，这时用配方法不易出错，因为正交变换通常计算量都比较大.

当然对于一些简单的二次型也可以使用初等变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.

雅可比方法是一种新的方法，具有一定的局限性，要注意它的使用条件，有很明显的特征，但是在理解的基础上使用起来非常简单。用雅可比方法来解决一些正定性问题时比较方便.

把二次型化简成为标准形在数学上有很重要的应用，比如说我们所熟知的利用化二次型为标准形的正交变换法来判断二次曲线形状（本文已给出相应的例子），这体现了二次型不仅在高等代数中有重要的地位，而且在几何中也有贡献。化二次型为标准形的方法不仅在数学上，而且在其他领域也有重要的地位，比如说二次型及其有定性理论在经济管理中有广泛的应用，还有在数量经济方面，特别是在现在比较热门的经济计量模型的建立以及经过计算求出答案的过程中都是以二次型及其有定性理论为基础的。可见二次型理论渗透在各个领域各个学科中所占的分量很大，及其重要。生活离不开数学，离不开二次型的重要理论与应用.

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