数学表达

数学表达

万庆华

江苏省宝应县夏集镇中心小学

数学表达能力是一种用数学方法表示数学概念、现象、关系、规律的能力，是数学核心素养的一个重要方面。数学表达包括两个方面：数学表示和数学表述。举个简单的例子：我们用英文字母a、b、S表示长方形的长、宽、面积，用关系式S=a b表述长方形的面积和长方形的长和宽的关系。数学表述以数学表示为基础。数学表达十分重要。一个学生对数学的发现、掌握程度、运用能力，终归要通过表达才能展现。数学表达是对知识的一次回顾，能起到复习、拾遗补缺的作用。数学表达也是对数学知识的一次整理、归纳、概括，通过表达过程，提高了自己的概括能力。数学表达是用自己的方式表示数学，就是数学知识内化的过程，把新学习的数学内容纳入了自己的知识体系，实现了知识体系的生长、发展。

数学表达十分重要，教师要重视培养学生的表达能力。培养学生的表达能力要了解一些常见的数学表达方式，主要有实物、动作、语言、符号、字母、数字、画图、列表……这些表达方式可以独立运用，也可以组合使用。许多表达方式有互相替代性，可以交互使用。

（一）语言表达是最常见的表达方式。因为语言是公共交流工具，所以，语言表达最方便、最直接、最明晰。比如表达什么是三角形，语言表述为：由三条首尾相连的线段围成的图形是三角形。如果教师画一个三角形，告诉学生这就是三角形，这实际上是三角形的一种特殊形式，不具有普遍意义。许多老师就在黑板上画出首尾相连的三条线段，就告诉学生这是一个三角形，这更不科学。应该强调三角形是围成的平面图形，教师要把围成的部分涂色。最起码，你要告诉学生：为了画图简便，我们通常把涂色的步骤省略了。用语言表达三角形的概念，是最完整、最科学、最普遍的。可见，语言表达的独特性产生了它的优势，是其它表达方式无法取代的。

学生用语言表达一个数学知识，往往从自己的生活经验、知识基础出发，因而有自身的特点，常常五花八门。由于观察、思考、操作等方面的片面或错误，又会造成语言表达的不正确、不完整。用语言表达一个数学知识，对于学生来说是十分困难的。教师不能越俎代庖，更不能直接取消。培养学生的语言表达能力，是一个长期的过程，教师要有耐心，舍得下功夫。

培养学生的语言表达能力方法很多。1、可以引导学生观察实物、图形、学具等等，发现特征或沟通联系或揭示规律。语言表达是抽象的概括，是建立在充分感性认识基础上的。学生如果生活经验不足，还要创设特定情境。当然，仅仅停留在感性认识层面上，就没有突破、升华。教师还要指引学生对现象层层分析，逐步抽象，最终形成理性认识。2、适时告诉学生一些数学名词、术语。比如，物体所占的空间就是物体的体积。体积这个术语，学生如果没有接触，是想不出来的。语言表达要借助一些专业术语，这样才能简练、规范。如果学生用各自的语言表达数学知识，那就会造成交流障碍。语言表达要有统一的概念、规范的格式。3、学生之间取长补短、拾遗补缺。学生有不同的基础、不同的思维习惯，他们站在不同角度，可能看到的是数学大厦的一个侧面。让学生互相启发、互相补充，才能形成完整的知识。

（ 二）符号表达是十分简洁的表达方式。符号的种类很多，有图形符号、字母、数字等。比如，我们画个 表示长方形，用字母S表示面积。符号在数学概念、运算、公式、规律等方面有广泛的应用。数学的发展离不开符号的进步。

我在教学分数的初步认识时，先进行数学活动：请同学们把4个苹果、2瓶矿泉水、1个蛋糕平均分给2人，看每人分得多少。接着问同学们每人分得的个数，学生自然会用语言表达:每人分得两个苹果、一瓶矿泉水、半个蛋糕。学生心中有“数”：两个、一瓶、半个。这些，说出来是语言，写出来是汉字。用语言（汉字）表达是常用的方法。有个美国小姑娘，她听不懂你说的汉语，你会用其它方法表示出这些数吗?学生们开动脑筋，有的画实物图（两个苹果、1瓶矿泉水、半个蛋糕），用实物图表示数；有的画符号（如，2个圆圈、1个圆圈、半个圆圈），用符号表示数。接着，我启发学生思考：用实物图表示数有哪些缺陷？用图形符号表示数呢？通过讨论，学生认识到都不够简便，甚至画半个圆圈表示半个，还不一定画得精确。那么，你们有什么办法表示这些数？学生很容易写出2、1，但对“半个”就写不出来了。我就自然指出2和1是阿拉伯数字，是国际通用的，我们今天就学习怎样用阿拉伯数字表示像半个这样的数。你怎样创造出一个数字表示“半个”这个数呢？我没有像教材那样直接出示分数，让学生体会、模仿，而是让学生真实地经历数的发展过程，主动创造分数。学生的符号化能力得到了发展，也丰富自己的数字结构。

培养学生用符号表达，我觉得应注意以下几点：1、在知识的生长点上培养学生创设符号的能力。例如，我在教学分数的认识时，放手让学生根据对二分之一的理解表示出这个数。由于这是新出现的一种数，学生的表示方法多种多样。平均分的表示方法，有波浪线、短横、长横、斜线、方框……被平均分成的2份，有写在上面、下面、左面、右面、里面……个个说得头头是道。但每个学生创造的符号，如果他自己不说，别人就无法理解这个符号的含义，就不能进行正常的交流。学生认识到了符号要统一、规范。再比较学生的书写格式，学生又认识到了：符号要简洁，便于书写。学生的符号化能力得到了发展。2、了解特定符号的含义。在数学发展过程中逐步形成了国际通用的数学符号，学生要了解这些规范符号的意义。3、要能用语言表述这些符号表达。我在教学加法运算律时，先通过几个计算引导学生发现加法的运算律，再放手让学生用字母表示运算律，之后组织学生用语言表述这些运算律，使学生深刻认识运算律的含义。

（三）画图表达是一种形象、直观的表达方式。学生的学习过程应该有两套系统在同时工作：语言系统和表象系统。这两套系统不是分开工作的，而是相互作用、相互补充。古人讲聪明就是耳聪目明，就是耳朵要听得进别人的话，眼睛要看得到东西，视听系统同时工作，多么高超的学习方法!把听到的转换成看到的，一个重要的方法就是画图。画图表达与其他表达方式相比，有独特优势：一是形象、直观，把看到的和听到的有机结合，充分调动多种感觉器官，提高学习兴趣和学习效率。二是有时候画图能发现字面没有表达的数量关系。三是使语言表达有依靠、更简洁。

培养学生的画图表达能力，可以从以下几个方面着力：1、学会用线段图表示数量关系。例如：相遇、追及问题，可以根据题义画出线段图，用来表达数量关系。有些问题表面上是单纯的计算，没有线段图，实际上仍可以用线段图表示数量关系。例如：黄花有50朵，红花比黄花多十分之一，红花有多少朵？要启发学生学会用线段图表示黄花、红花的朵数。这就是数形结合的思维方法。有了图形，学生就能看出而不是想出数量关系，能找到解决问题的简便方法，也能降低计算难度。线段图只是一种思考工具，有时画线段图时，不一定要求精确，只要能准确表达意思即可。画图时，一般不需要测量工具、画图工具。例如，画一条线段表示黄花50朵，可以不用直尺画，把它平均分成10份，也不必真的测量，大致像就可以了。2、学会用示意图表示自己的想法。举个例子，教学数学的起点：数的认识，就要先让学生观察一个个实物或图像，感受个数。怎样在表象的基础上形成数的概念呢？一个重要的方法，就是画图。我们就是通过与多种实物（图）一一对应画圆圈认识1、2、3……的意义。我们可以根据题意画出示意图，结合语言、动作表达，这样交流、理解就容易多了。画示意图要选择合适的方法。例如，求几分之几的几分之几是多少，我们通常画个长方形表示单位“1”，画起来简便，观察起来也很清晰，理解起来也很容易。如果画个圆表示单位“1”，多次平均分就很困难，在操作上就遇到了障碍，别谈理解了。

学生的表达能力与认识水平密切相关。比如在教学正比例关系时，学生观察铅笔数量、总价的表格，有的同学仅能表述：卖出的铅笔数量越大，总价就越大。有的同学能表述：铅笔数量与总价的比值不变，或者总价与铅笔数量的比值不变。有的同学能表述：总价与铅笔数量的比值就是单价，所以比值不变。学生观察越仔细、认识越深入，表达就越深刻。要提高学生的表达能力，就要首先提高学生的观察、比较能力。

数学表达能力实际上是建立在数学观察、概括、归纳、计算、推理等能力基础上的，因而是一项综合能力，是学生核心素养的重要内容。我们要努力探索提高学生数学表达能力的方法。