浅议初等数学中“0”和“1”的变形技巧及其应用

浅议初等数学中“ 0”和“ 1”的变形技巧及其应用

周芬

莆田文献中学

摘要：

在初中的数学解题中，为了完成化简、求值、论证等的任务，常常需要对某些式子进行变形，但是变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了在初中数学中的“ ” 和“ ” 常用变形技巧及其应用。掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。

关键词:初等数学；变形；技巧；应用

数学，是一个有机的整体，各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个相互交错的立体空间.为了培养初等数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力，除了对各单元知识及一些开放探索性问题，实践应用性问题等综合内容进行系统复习外，在中考前最后阶段的复习中，应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并有意识的运用一些数学方法去解决问题，这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有各种不同的方法（即所谓的一题多解）.各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的.

最近几年来，中学数学的考试题目越来越新颖，特别是在中考的试题当中，要使考生在短短的两小时之类完成所有的题量，这无疑对一部分考生来说是很难完成的.有些试题的技巧性又非常强，考生一味的在题目上面钻牛角尖的话，不仅仅会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案.所以我们有必要针对有些题采取正确的解题技巧，对有些题作出一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使学生做起题来得心应手，更增加了学生们的解题信心和提高了对数学的兴趣.

数学变形，是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.例如勾股定理可表述为a²+b²=c2，亦可表述为 ， 等.若问 ，这显然是一个不屑回答的问题，但若问 就成了最富灵活性的问题，例如 ， ， 等.可见“变形”实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环.我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强，本文主要介绍了在初中数学中的“ ” 和“ ”的变形应用。希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。下面我们来谈谈这几种变形技巧及其应用。

一、“0”的变形技巧

恩格斯在《自然辩证法》一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容……零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数，都等于零，……”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活动中我们若能多这些特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面我们举例几个“0”的特性在解题中的应用.

例1：若 ，求证 .

证明：因为 ， ，

又因为 ，故

说明：通过观察可发现 可以变形为 ，即式子 加了 .则再利用不等式的性质可方便解决这道题.

例2：设实数 分别满足 ，并且 ，求 的值。

解：由题设可得 。

两式相除，得 。

由比例的基本性质，得 ，

整理得

，

说明：通过仔细的观察可知只要对已知条件 进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。

二、“1”的变形技巧

例3：已知abc=1,求 + + 的值。

解：∵ abc=1

∴原式= + +

= =1

说明：本题的解法很巧，若将所求通分化简，再代入已知或将已知变形再代入所求都不易求出结果。习惯上是将字母代换成数，而此题是将1代换成字母abc，反而收效较好。因此，“1”的变形也是恒等变形的重要技巧。

例4：已知abc≠0，a+b+c=0，求a( + )+b( + )+c( + )的值。

解：由abc≠0，知 + + =3，故

原式=a( + + )+b( + + )+c( + + )-3

=(a+b+c)( + + )-3=-3

说明：本题利用1= = = ，巧妙地把三个式子构造成含有公因式的式子，从而轻松解题。

例5： .

使问题巧妙解决.本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦.

总结：通过以上的例子可以看出，如果可以借助“0”和"1"的变形来解决有关的数学问题，则效率非常高。因为“0”和"1"的变形是多种多样的，对不同的题目，“0”和"1"的变形是不同的。有些题目若能利用“0”和"1"来求解，则我们应该灵活运用“0”和"1"去解决。

我们在解初等数学题的过程中难免会遇到这样或那样的问题，那么我们应该怎么样去解决才使问题变得简单易懂呢？ 从波利亚的"怎样解题"表中可知数学解题一般有四个步骤：第一、弄清问题。即要知道未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？然后拟定计划。第二、找出已知数和未知数之间的联系。如果找不出直接的联系你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解计划。第三、实行你的计划。第四、验算所得到的解。以上是解题的一般步骤。但是有时我们在解题的过程中也应该注意，如果能利用变形技巧的，我们应该巧妙利用。通过以上的两种变形技巧的介绍，我们可以看出在解题的过程中，如果善于利用变形技巧，则可以使许多问题化繁为简，化难为易。变形技巧是数学解题的一种方法，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形实质上是为了达到某种目的而采用的"手段"，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识需要在实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。