阶乘在级数中的研究与应用

阶乘在级数中的研究与应用

张国利

（洛阳师范学院 数学科学学院，河南 洛阳 471934）

摘 要：对阶乘和双阶乘的历史及相关重要等式进行了简单总结，并通过实例研究了它们在级数中的一些应用.

关键词：阶乘；双阶乘；级数；斯特林公式

中图分类号：O173 文献标识码： 文章编号：

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1. 前言

阶乘运算在组合学、代数和分析等课程有重要作用，以数学分析课程为例，在数列的收敛以及级数的收敛性等问题中会多次遇到阶乘运算，本文从阶乘符号发明的历史出发，通过具体实例，研究了阶乘的相关应用。

对于非负整数 ，符号 表示 的阶乘，它是法国数学家Christian Kramp(1760-1826)在1808年首先引入的^[1]，定义为

规定 。当 很大时， 的数值是很大的。事实上，通过对 的放缩我们有如下逼近

或直接使用Stirling逼近公式 ( 很大时)

(1)

关于 ，有很多著名的恒等式如

欧拉数_，或

阶乘 与Gamma函数 也有密切关系如 ，其中 。此外在三角函数对应的泰勒级数中，更离不开 。

与阶乘 密切相关的一个概念是双阶乘 ，这个符号是1948年Merserve最先开始使用的^[2]，其定义为

或

_{在著名的Wallis公式里，有}

和 关系主要有

_，

等，当然在 或 的运算中， 也可以不限于非负整数，甚至可以推广到复数，本文在此不再多述。

2. 应用

例1 证明 ，其中 为非负整数。

证明 对 使用数学归纳法即可证明，详细证明略。

例2 判断级数 的敛散性。

解 令 ，则 ，由于

所以由拉贝判别法的极限形式知，当 ，即 时原级数收敛， 时级数发散。当 时，直接使用拉贝判别法也可证明原级数发散^[3]。

例3 判断级数 的敛散性。^[4]

解 令 ，当 时，显然 ，由于 ，故 发散。

当 时，记 ，其中 ，

由 易知

又由例1的结论知

故由莱布尼茨判别法知原级数收敛。此时，由例2的结论知 发散，于是，原级数当 时是条件收敛的。当 时，由例2的结论知，原级数绝对收敛。

例4 求函数项级数 的收敛域。^[5]

解 令

由于 ，故收敛半径 ，收敛区间为 。

当 时，级数为 ，由于

故由高斯判别法知，当 （即 ）时，级数 收敛，同时也是绝对收敛；当 时，级数 发散。

当 时，级数为（2）

与例3的结论类似，当 时，级数为绝对收敛； 时，由(1)式，有

且

由莱布尼茨判别法知，级数(2)收敛，但由于其绝对值组成的级数发散，因此当 时，级数(2)条件收敛，当 ，通项为 ，故级数为发散， 时，通项趋于无穷，因而级数也发散。

综上，原级数的收敛域当 时为 ，当 时为 ，当 时为 。

例5求函数项级数 的收敛半径和收敛区间。^[6]

解 令 ，由 知，级数的收敛半径 ，所以级数的收敛区间为 。

当 时，级数为 ，由(1)式得

即 ，所以级数发散。

当 时，级数为 ，由于 ，由拉贝判别法知， 发散。故原级数收敛域为 。

参考文献：

[1]Higgins, Peter. Number Story: From Counting to Cryptography[M]. New York: Copernicus, 2008:12.

[2]Meserve, B. E. Classroom Notes: Double Factorials[J]. The American Mathematical Monthly. 1948:55 (7): 425–426.

[3]华东师范大学数学系.数学分析(第四版下册)[M].北京：高等教育出版社，2010:16.

[4]费定晖，周学圣.数学分析习题集题解(4)[M].济南：山东科学技术出版社2001.100.

[5]费定晖，周学圣.数学分析习题集题解(4) [M].济南：山东科学技术出版社2001.246-248.

[6]华东师范大学数学系.数学分析(第四版下册)[M].北京：高等教育出版社，2010:54.

Research and Application

of the Factorial and Double Factorial in Series

Zhang Guo li

(College of Mathematics Science, Luoyang Normal University, Luoyang,471934，China)

Abstract: This paper briefly summarizes the history of factorial and double factorial and related important equations, and studies some applications in series by examples.

Key Words: factorial; double factorial; series; Stirling's approximation

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作者简介：张国利(1978-),男，焦作温县人，讲师，硕士，主要从事函数论、微分方程等方面的研究.