算二次--让函数与方程的思想灵动升华让核心素养数学运算落地

算二次 -- 让函数与方程的思想灵动升华让核心素养数学运算落地

任艺 1 任礼铭 2

1 四川省泸州市 泸州高中 学校 646000 2 四川省泸州市 泸州老窖天府中学 656000

摘要：当前如何让六大核心素养，四种重要的数学思想落地是我们一线中学数学教师落实新课改的一项重要任务,算二次的处理方法具有一定的代表性,它让函数与方程的思想灵动升华了起来，让核心素养数学运算落了地,笔者认为如果能在教与学中对诸如这样的方法实现常态化的提炼，对于突破以能力立意、考查基本数学思想方法的高考数学题一定会起到助力推动的作用.

关键词：算二次 函数与方程 数学运算

当前如何让六大核心素养，四种重要的数学思想落地是我们一线中学数学教师落实新课改的一项重要任务，我们知道，对于一道数学题深度挖掘其一种解法可以让这种解法精致，挖掘其多种解法可以让思维发散，笔者本文从教材例题、高考试题、摸拟试题中提取出的算二次的处理方法具有一定的代表性，它让函数与方程的思想灵动升华了起来，让核心素养数学运算落了地。笔者觉得为如何落实核心素养提供了一点滴可行的方式方法，能起到抛砖引玉的作用。笔者认为如果能在教与学中对诸如这样的方法实现常态化的提炼，对于突破以能力立意、考查基本数学思想方法的高考数学题一定会起到助力推动的作用，学生数学思维的深度、广度和宽度相信会得到提升.

我们熟知在中学数学思想中，主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.而函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.常常随之根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.使问题得以解决。本文就是在基于函数与方程思想的基础上的一次细微化、具体化，让思想与素养落地。

一、在向量问题中的算二次

1. （ 人教A版必修4第二章第五节例2）：如图

ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

解：设 =a, =b, =r,则 =a+b.由于 与 共线，所以，我们设r=n(a+b),n R,（算一次）

又因为 = - =a- b， 与 共线，所以我们设 =m =m(a- b)

因为 = + ，所以r= b+m(a- b)， （算二次）

因此n(a+b)= b+m(a- b)，即(n-m)a+(n+)b=0.

由于向量a，b不共线，要使 上式为0，必须(n-m)且(n+ ）同时为0，

解得 n=m= .所以 = .同理 = .于是 = 。

所以 AR=RT=TC

〖反思与提炼〗：本小题考查向量的基本定理以及向量加减运算、共线法则的应用，最为突出的是把向量 （r）从不同角度算两次，将向量 （r）表达为关于基向量a,b的函数，进而提供建立关于a和b的方程，再利用向量a，b不共线，最后解关于 m、n的方程。求出m、n的值使问题得到解决。

二、在三角问题中的算二次

例2.（2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类19题）：已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积．

解 ：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积，

．

∵ A＋C = 180°，∴ sin A = sin C．

∴

．

由余弦定理，在△ABD中，

BD ² = AB ²＋AD ²－2AB · ADcosA =2²+4²－2×2×4cos A= 20－16cos A，（算一次）

在△CDB中

BD ² = CB ²＋CD ²－2CB · CDcosC = 6²＋4²－2×6×4cos C = 52－48cosC，（算二次）

∴ 20－16cosA= 52－48cosC

∵ cosC = －cosA，∴ 64cos A =－32， ，∴ A = 120°，

∴ ．

〖反思与提炼〗：本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力，最为突出的是把不规则的四边形转化为两个三角形来研究，其亮点是对于线段BD分别在△ABD和△CDB中算两次，将BD表达为关于角A与角C的函数，进而提供建立关于A和C的方程，再利用

A＋C = 180°,用A表示C,最后解关于A的方程。求出A使问题得到解决。

例 3.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.

解::依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，

sin θ=，（算一次），5sin θ=①cos θ=（算二次）5cos θ=② 由②-①得5sin θ－5cos θ＝1，则sin θ－cos θ＝.

从而(sin θ＋cos θ)²＝2－(sin θ－cos θ)²＝，则sin θ＋cos θ＝，

故tan＝＝＝－7.

〖反思与提炼〗：本题主要考查推理与数学运算等核心素养.借助第24届国际数学家大会会标命题，考查三角恒等变换问题.其微妙之处是通过最简单的解直角三角形，针对同一个角θ从正弦和余弦两个三角函数的角度算二次建立关于θ的函数关系，转化成同一个角三角方程，利用三角恒等变换及其代数运算求解.

例4.在△ABC中，D是BC边的中点，AB＝3，AC＝，AD＝.

① 求BC边的长；

②求△ABC的面积.

解：　①设BD＝x，则BC＝2x，如图所示.

在△ABD中，有cos∠ABD＝＝，（算一次）

在△ABC中，有cos∠ABC＝＝，（算二次）

且∠ABD＝∠ABC，即＝，得x＝2，即BC＝4.

②由①可知，cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，

∴S_△ABC＝·AB·BC·sin B＝×3×4×＝3.

〖反思与提炼〗：本题主要考查函数与方程的思想与数学运算等核心素养.最为突出的是针对∠ABC这一个角的余弦值利用余弦定理算两次，让cos∠ABC都表达为x（BD）的函数，进而构建关于BD（x）的方程，利用代数运算求解出x,使求面积的问题易于解决。

三、在解析几何问题中的算二次

例5.（2016黑龙江哈三中一模）设点 为双曲线 上一点， ， 分别是左右焦点， 是 的内心， 若 ， ， 的面积 ， ， 满足 ，则双曲线的离心率为

A．2 B． C．4 D．

解 :如图，设圆I与 的三边分别相切于点，， ，则 ，且 ， ， ，它们分别是 ， ， 的高，由 可 ，整理 = （算一次）

根据双曲线的定义可知 ，（算二次）

所以 ， ，故选A．

〖反思与提炼〗：解题中分别使用了双曲线的定义及三角形内切圆的性质对 计算了二次．建立起了关于 与 的齐次式，轻松解决问题。

【例6】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.

(1)若ED＝6DF，求k的值；

(2)求四边形AEBF面积的最大值.

解　(1)依 题意得椭圆的方程为＋y²＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).

如图，设D(x₀，kx₀)，E(x₁，kx₁)，F(x₂，kx₂)，其中x₁＜x₂，且x₁，x₂满足方程(1＋4k²)x²＝4，

故x₂＝－x₁＝.①

由ED＝6DF知x₀－x₁＝6(x₂－x₀)，

得x₀＝(6x₂＋x₁)＝x₂＝；（算一次）

由D在AB上知x₀＋2kx₀＝2，

得x₀＝.所以＝，（算二次）

化简得24k²－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.

(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h₁＝＝，

h₂＝＝.

又|AB|＝＝，

所以四边形AEBF的面积为

S＝|AB|(h₁＋h₂)

＝··＝

＝2＝2≤2，

当且仅当4k²＝1(k＞0)，即当k＝时，上式取等号.

所以S的最大值为2.

即四边形AEBF面积的最大值为2.

〖反思与提炼〗：　解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题从宏观的视角一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.本题在运算求解中值得提炼的是就D点的横坐标x₀从两个不同的题设条件建立关于k的函数关系式，再以x₀为桥梁构建关于k的方程，利用代数运算求解出k,为第二问的求解搭建好了良好的平台。

算二次方法的提炼让函数的思想凸显，让方程的思想落地，让数学运算生了根。

参考文献：

[1]2001年高考数学全国卷试题。

2. 人教A版必修4

3. 各地高考数学模拟题

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