微积分在数学建模中的应用

微积分在数学建模中的应用

王丹 施晓晶 邢妮

山东协和学院 山东济南 250200

摘要：如今，数学建模的思想成为了很多人学习微积分时首先想到的办法。数学建模是一种革命性思维工具，虽然困难却极其有效。以数学建模的思想融入到大学生学习微积分过程中进行了讨论与研究，从而更好地理解数学建模的思想和更好地学习微积分。

关键词：数学建模；微积分；应用

引言：全国大学生数学建模大赛是大学比赛中非常重要的赛事，而微积分也是我们当代大学生所学课程的必修科目，在建模大赛的解题过程中，许许多多的题目和问题都需要用微积分方法进行解决，这两者分别是什么，如何用微积分解决建模问题，如何把建模问题转为微积分的问题进行分析，通过本文让我们来简单的了解一下什么是数学建模，什么是微积分，如何用微积分解决我们数学建模问题。

一、对数学建模的基本认识

（一）数学建模的定义

数学模型(Mathematical-Model)是对于部分现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个抽象、简化的数学结构。简单地说:数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的-一个抽象的、简化的结构。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学建模是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是对实际问题进行抽象、简化，从而确定出变量和参数，应用某些规律建立起变量、参数间的某种关系的数学模型。

（二）数学建模的过程

当需要从定量的角度分析和研究-一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象有关信息。做出合理、简化的假设、分析内在规律等工作的基础上。用数学的符号和语言。把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题。并接受实际的检验。这个建立数学模型(Mathematical Model) 的全过程就称为数学建模(Mathematical Modeling). 即.数学建模是一个由“ 模型准备→模型假设→模型构成-模型求解→模型分析→模型检验→模型应用”的过程

（三）数学建模的意义

1.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题;高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题( 如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解;建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。

2.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术，用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一

二、微积分的认识

微积分(Calculus )是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分是研究客观世界运动现象的一门学科,我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论,贯穿整个微积分学。要学好微积分,必须认识和理解极限理论,而把握极限理论的前提,首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想,是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

三、微积分在数学建模中的应用

（一）极值在数学建模中的应用

我们在学习微积分的导数应用时，知道极值是一个很重要的应用。设y=f（x）在x₀处的导数存在，且f（x）的导数为0，则x=x₀成为y=f（x）的驻点。又有f（x）的二次求导存在，且f（x）的导数为0，f(x)的二次求导不等于0，则可得出以下结论：

若f(x)的二次求导小于0，f(x₀)为极大值。

若f(x)的二次求导大于0，f(x₀)为极小值。

因此极值问题主要可以解决数学建模中最值问题，例如：

1.求点的运行路径花费的时间最短：假设有一点从点A运动到B ，速度恒定不变为常数v，求时间最短。

2.路径最短：从A到B点所花的时间最短，运动轨迹。

3.选择问题：如何选择是最优？

（二）向量代数在数学建模中的应用

通常微积分的向量代数主要是解决我们空间几何中的距离问题，那我们的向量代数是如何解决数学建模问题，同理，向量代数也是解决数学建模问题中的举例问题，例如：两个群体之间他们基因的接近频率和程度是多少？两中物体之间的相似和差异的判别问题。

（三）微分方程在数学建模中的应用

微分方程建模是用数学中微分方程解决实际问题的桥梁，具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等各个领域中有着广泛应用，应用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释.因此，选准切入点，将微分方程和数学建模的内容有机的结合才能体现出微分方程建模的思想意图。当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立动态模型.而针对不同的实际对象的动态模型，进行微分方程建模的一般性。

四、总结

在数学建模的思维能力凸显的年代，能够找到适合自己，能够提高成绩和效率的办法实在是非常不容易。数学建模的思想法虽然是一个很有效且非常困难的办法，但是知道是一回事，做到又是另一回事了。数学建模在现代的数学学习中占据着很大的比例，建模的思想可以帮助学生主动建立一个案例模型，然后解决微积分。但是，平时靠着普通的方法解决微积分，低下的效率而以失败告终。有多少人想一探模型魅力而半途折返?很多人，败在了第一步;亦有很多人，败在了不坚持。实践是第一步，坚持则是最重要的一步。数学建模的思想如果能被很好地应用，那么它能帮助使用者更好地学习微积分，如果只是三分钟热度，那么再好的方法也提高不了成绩，提高不了效率。

［参考文献］

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模 [M]北京：高等教育出版社，2003

[2]李大潜，大学生数学建模竞赛[M].北京：高等教育出版社，2008

指导教师：邢妮 山东协和学院

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