从解一元二次方程谈数学运算能力的培养

从解一元二次方程谈数学运算能力的培养

王利1 牛彦鹏

四川民族学院 教育科学学院 四川 康定 626001

摘要：作为数学核心素养的运算能力已经成为学生学习数学“四基”中的基本技能。本文分析了运算能力的重要性和学生在解一元二次方程时的困惑，通过介绍如何灵活选取一元二次方程的解法快速准确求解，着重介绍用“十字相乘法”解一元二次方程的三种情况，培养学生的运算能力和解决实际问题的能力，提升学生学习数学的信心。

关键词：运算能力；解一元二次方程；十字相乘法；解决实际问题的能力

一、运算能力在数学中的重要性

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“运算能力”加入到“十大核心概念”中。“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力，有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”^[1]《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订）》将“数学运算”加入到数学学科核心素养六条当中。“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。”^[2]

高中数学必修课程包括五个主题。第一个主题就是预备知识，其中“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”这部分内容是初高中的衔接知识，从数学课程标准和预备知识都能说明“解一元二次方程”对学生运算能力培养的重要性。

中学代数的主要内容都和运算有关，如有理数、整式、因式分解、分式和根式的运算，还有解方程（不等式）也需要具备一定的运算能力和技巧。其中，一元二次方程的求解尤其重要，其运算的熟练程度直接影响后续的二次函数和一元二次不等式的学习，也为高中和大学数学的学习打好扎实的基础。

二、学生解一元二次方程所面临的困难

虽然学生学习了一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法），但有的学生在解一元二次方程时不能灵活选择最合适且简单的解法，一味地套用公式，这样计算量比较大，学生容易算错而且速度还比较慢。

对于能用一元二次方程解决实际问题的部分，学生能根据题意列出一元二次方程，但有时所列方程的数据比较大，结构比较复杂，很多学生就用大量时间来计算或者放弃计算。特别是含参数的方程（不等式），有的学生不能灵活选取合适的解法，更别说快速算出答案。

为了让学生理清解一元二次方程的不同方法，提高运算能力，寻求合理简洁的运算途径解决问题，下面将具体介绍解一元二次方程的过程和技巧。

三、解一元二次方程的方法选取与运算能力的培养

下面主要从一元二次方程的求解来谈一下如何提高解方程的运算能力。主要介绍能用直接开平方法和因式分解法中的十字相乘法快速准确解出一元二次方程。

（一）直接开平方法

首先确定哪些结构的一元二次方程可以用直接开平方法，快速准确的解一元二次方程。1.直接开平方法的形式

形如 ，这里的底数 是单项式也可以是多项式 ，如 ，等号的右边为非负数时才能直接开平方根，所以等号的右边也可以为某个单项式或多项式的平方，即 。

2.二次根式的化简

不管是哪种形式，要用直接开平方法求一元二次方程的解，都必须熟记常见的平方数，但二次根式是初二上第一章内容，很多同学快忘了，那么此时就应该先复习二次根式的化简，并识记常用的 的平方数，如 ，将它们变形可以为 通过直接开平方，这些数能直接开出来。有些不能开出来的数，如 ，先将被开方数是小数的数化成分数，再观察其分子或分母是否含有平方因数，如 对于分子分母都不含平方因数，既要进行分母有理化，如 。

3.直接开平方解一元二次方程

在充分熟悉了二次根式的化简和常见平方数的识记后，再对直接开平方法的三种形式进行灵活运用，让学生做到心中有“模型”，计算有速度，这样才能得心应手，快速准确解一元二次方程。

例如：解方程 ，有的同学先把两边算出来，然后再整理成一元二次方程的一般形式再用求根公式算出 的解。其实，在解方程时应该先看所给方程的结构属于哪种模型，方程 可以看作是 则两边同时开平方根得 则 将二次方程降为两个一次方程。

解一元二次方程

解：

或

直接开方法是配方法和公式法的基础，这三种方法一脉相承。配方法就是通过配方把等号左边配成一个整式的平方，右边为一个非负数，再用直接开平方法求解；而公式法就是将一元二次方程的一般形式通过配方，得出求根公式，必须认真耐心地一步一步计算才能得出准确结果，这里不做详细介绍。

（二）因式分解法

下面主要介绍怎样用因式分解法求一元二次方程的解和实际应用题。俗话说得好“磨刀不误砍柴工”，要灵话运用因式分解法解一元二次方程，就要先复习因式分解法。其中的提公因式法和公式法不做介绍，这里着重介绍十字相乘法（很多教材弱化或者删减此部分内容，但对今后的学习很重要）。

1.因式分解法——十字相乘法^[3]

十字相乘法:（三项，如能提公因式，提公因式后，完全平方式失效） 即从常数项入手，将它分成两个因数相乘，且它们的和为一次项系数，具体如下。

若常数项为正数，将它分成两个同号的因数相乘，再看一次项系数的正负。若为正，则将常数项分成两个同正的因数相乘，且它们的和为一次项系数。

例如 若为负，则将常数项分成两个同负的因数相乘，且它们的和为一次项系数，例如

若常数项为负数，将它分成两个异号的因数相乘，再看一次项系数的正负。若为正，则将常数项分成一正一负的因数相乘，且正数的绝对值大于负数的绝对值。

例如 若为负，则将常数项分成一正一负的因数相乘，且负数的绝对值大于正数的绝对值，例如

特别地，能用完全平方公式的二次三项式也能用十字相乘法分解因式，例如 ，

2.二次项系数不为1的十字相乘法

二次项系数不为1时，形如 ,分别将二次项系数 和常数项 分解因数，交叉相乘，作和为一次项系数，即

例 如：对 分解因式，显然只分解常数项是行不通的，还要对二次项系数进行因数分解。但又不能一下看出怎么分解，此时需要“试分”：二次项系数2可以分成1和2，常数项3可以分成1和3相乘；用1和2分别去乘1和3（或3和1），适当调整两次结果的顺序再作和（因为常数项为正，一次项系数为正），因为 ，此时结果为一次项系数，可以用十字相乘法，并适当添上“ ”号，如 ，所以 .

对于常数项和一次项系数不是正数的二次三项式分解因式，由于常数项和一次项系数不是正数，而且分解因数情况不止一种，还要考虑符号问题，此时需要把常数项和一次项系数的绝对值先进行“试分”再定符号。例如 ：二次项系数2可以分成1和2，常数项的绝对值12可以分成1和12，2和6，3和4分别相乘；用1和2分别去乘1和12（或12和1），适当调整两次结果的顺序再作和或者作差，看结果是否为一次项系数的绝对值， ，25或者23此时结果不是一次项系数的绝对值5，继续试分下一组数。

用 1和2分别去乘3和4（或4和3），因为 ，此时结果为一次项系数的绝对值5，可以用十字相乘法，并适当添上“ ”号，如 ，所以

4. 运算能力的提高有助于学生运用一元二次方程解决实际问题

在熟悉解一元二次方程的基础上解决实际问题就得心应手了。在学习实际问题与一元二次方程时，先根据题意列好一元二次方程，观察实际问题所列的一元二次方程的结构，再选取合适的解法快速准确求出答案。^[4]

（一）用直接开平方法解决实际问题

当实际问题所列的一元二次方程形如 （ 分别表示变化前和变化后的数量），当 时，解法为直接开平方法。有些看似数据大不好计算的应用题，其实方法得当，算的又快又准。

例如:青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200千克，2012年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

解:设水稻每公顷产量的年平均增长率为 ,由题意得

（舍）

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8.3%

大多数由实际问题所列的一元二次方程都能化成一个二次三项式等于零的形式，也就是一元二次方程的一般式。此题就是在学生熟悉20以内的平方数的基础上用直接开平方法就能快速求解。

（二）用十字相乘解决实际问题

在解决实际问题中，如果不能用直接开平方法，化简后的方程为二次三项式，可以优先尝试用十字相乘法对等号左边进行分解因式，也能快速将一元二次方程降成两个一元一次方程，快速准确计算出 的值。

例如：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？

解:设每个支干长出 个小分支,由题意得

整理得 （舍）

答：每个支干长出9个小分支。

再看变式：某新建火车站站前广场需要绿化，该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米²，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

解 :设人行通道的宽度是 米，由题意得

整理得

先 尝试十字相乘法，分别将二次项系数和常数项分解因数，交叉相乘，作和为一次项系数，即

即 （舍）

答：人行通道的宽度是2米.

这样计算量小、准确性也高。当然，偶尔有些实际问题所列一元二次方程经过尝试不能用十字相乘法分解因式，就马上选择公式法，通过求根公式也能准确求得 的值。在运用十字相乘法时，有时还会遇到含有参数的一元二次方程，可以类比以上十字相乘法进行因式分解。

例如：关于 的一元二次方程 有一根小于1，求 的取值范围。解含有参数的一元二次方程，也先尝试因式分解中的十字相乘法：

即

∵方程有一根小于1 ∴ ∴

如果不习惯用因式分解法中的十字相乘法，也可以用公式法，

∵

相比公式法，能用十字相乘法解一元二次方程的题，计算量小，结果也很精确。

总结

能否灵活选择求一元二次方程的解也会对后续二次函数和一元二次不等式的学习受到影响。不管是解一元二次方程还是列一元二次方程解应用题，都要看准所给（列）一元二次方程的结构，然后再选择合适简单的解法求一元二次方程的解，提高运算能力，增强学习数学的信心。

参考文献

[1]国家教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2011年.

[2]国家教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].人民教育出版社，2020年.

[3]贾彬,余庆纯.“十字相乘法”:基于学生问题,选取HPM视角[J].教育研究与评论(中学教育教学),2020(06)：40-47.

[4]郑宏周.育人为本，能力为重——以“解一元二次方程”的教学为例[J].中学数学,2021(02):16-17

1 基金项目：四川民族学院科研项目（XYZB2010ZB）;

作者简介：王利（1987—），女，汉族，四川岳池人，硕士研究生，助教。主要研究方向：课程与教学论。