使用洛必达法则求函数极限以及应该注意的问题

使用洛必达法则求函数极限以及应该注意的问题

谢黎东

新疆水利水电学校 新疆乌鲁木齐 830013

摘要：关于两个无穷小量或两个无穷大量的比值的极限，洛必达法则给出了解决办法，但是在求两个无穷量小或两个无穷大量的比值的极限的时候，要注意正确理解和使用洛必达法则，以免出现错误。并且能结合其它方法求函数极限效果比较好。本文在此做了小结。

主题词：洛必达法则；求函数极限；应注意的问题

引言：我们知道在求函数极限的时候，对于两个无穷小量或无穷大量的比的极限，在自变量x的变化过程中，随着这些无穷小量或无穷大量的类型不同，可以有完全不同的变化状态。因此不能对这样的比的极限状态给出一般性的结论，通常称之为“未定式”。洛必达法则给出了解决办法，“未定”的意思是关于它的极限不能确定给出一般性结论，而不是在具体情况下极限总是求不出来。但是在求“未定式”的极限时，要特别注意几个问题。

1. 洛必达法则及要注意的问题

1. 对 型未定式

对于函数 ，如果满足

1. ：

2. 

3. 

则： （注；这里a也可以是 ）

2. 对 型未定式

对于函数 ，如果满足

1. ；

2. 

3. 

则： （注；这里a也可以是 ）

3. 其它未定式 ， - ， ，都可以根据自身特点化成以上两种类型的未定式，而加以解决。

要注意的问题：应用洛必达法则求函数极限应注意以下几点.

1. . 要注意洛必达法则的条件，在没有化成 或 型时，不能求导。

(2)要及时化简极限符号后面的分式，在化简后要检查是否仍然是“未定式”，如果不是“未定式”就不能使用洛必达法则，否则会引起错误.

(3)当 时，洛必达法则失效，但并不是说极限就一定不存在，可以使用其他方法。

（4）在计算过程中尽量使用两个重要极限。

2. 实例说明

例1：求

解： ，所以 属于 型未定式。

运用洛必达法则，

注意： 已经不是未定式了，如果继续使用洛必达法则就会导致错误。

例2：求

解： 。所以 。

运用洛必达法则得

注：如果第一步不化简，直接运用洛必达法则，就非常麻烦。

例3：求

如果直接使用洛必达法则，分子分母的导数很麻烦，计算量大，所以把此式--分解变形。

而

对另一个因式使用洛必达法则

所以

[注]在所以法则的同时，能够结合所以其他方法或已知极限（本例用了恒等变形和重要极限）往往可以简化计算。

例4 ：求

解：若n是非负整数，则

若n不是非负整数，则[n]

则 ，此式的左右两端当 时，极限都是0，因此中间的极限就等于0，可见对于任意大于0的实数a和n均有

[注]本例用了夹逼定理。

例5：求极限

1. ，（2）

解：这两个极限就不能用洛必达法则,因该法则有一定的适用范围。当时，就不能用。而且的极限并非一定不存在，这需要用其他方法解决。

（1）式是 型未定式

但是 ，其中 ，

故 。而 却不存在。不符合洛必达法则的条件。所以不能应用洛必达法则，得另找办法。

2. 是 型未定式

但是 的极限不存在，也不符合洛必达法则的条件。得找别的办法。

（利用重要极限）

例6：讨论函数的极限

解：

这是 型未定式。但使用两次洛必达法则后又回到原来的形式，该法则不能解决问题。得使用其他办法。

（通过代数变形解决）

例7：求极限

1. （2）

解：这是 ； 型未定式，通过变形化为 和 型。

例8：求（1） （2） （3）

解：此例是 型，用指数函数和取对数把它化为 ， 型

1. 对 ，设 ，两边取对数得到：

，当 时，上式右端是 型，则

因此 ，即

三、结论：本文着重讨论了如何正确理解并正确使用洛必达法则求函数极限。同时结合其他方法可以更好的解决求函数极限问题。所用例子有一定代表性，并且强调了计算过程中，应该注意的事项。

参考文献：

工科中专数学教材编写组. 数学 . 北京: 高等教育出版社，1995.

欧阳光中、朱学炎、秦曾复。数学分析 ，上海：上海科学技术出版社，1982.

作者简介：谢黎东，男，数学教师，理学士。

Abstract:About two infinitely small quantity or two infinitely great quantity ratio limits, the Robida’s rule give the solution, but when you are asking two infinitely small quantity or two infinitely great quantity ratio limits, had to pay attention to the correct understanding Robida’s rule, in order to avoid appearing mistakes.And it can be combined with other methods ,It’s better to take the limit of the function.This article has made a brief in here.

Key words:the Robida’s rule、functional limit、pay attention to the problem