基于课程标准，树立正确的教材观----“平行线分线段成比例”的证明

基于课程标准，树立正确的教材观 ----“ 平行线分线段成比例”的证明

高佳丽 陕西师范大学附属中学 陕西西安 710061

摘要：教学设计时，我们不必完全忠于教材，而是可以根据课程标准，学生水平，教学条件等进行增删，以靠近学生的最近发展区，促进学生数学思维的发展。

关键词：教材观，最近发展区，数学思维

在北师大版初中教材中，“平行线分线段成比例”这个定理，是以基本事实的形式给出的。教材让学生通过数格子的方式，经历“观察-猜想-归纳-验证”的过程，得到这个“基本事实”，数学从特殊到一般的思想方法。课本上这样处理，主要还是考虑到大部分学生的理解能力，不愿加重学生思维负担。然而教学内容不等于教材内容，教材内容只是教学内容的来源之一，作为教师，我们可以根据课程标准，学生实际，自身特点以及教学条件等进行创造性的教学。

由于本班大多数学生学习数学的水平较好，有一定的探索能力，我就把这个富有挑战性的定理证明作为一项选做的作业留给了学生。以下便是定理以及学生给出的三种不同的证明方式。

1问题呈现

如图1，已知l₁∥l₂∥l₃，分别交直线

m，n于点A₁,A₂,A₃,B₁,B₂,B₃.求证：

图1

我们为了直观将A₁A₂,A₂A₃,A₁A₃分别记为“左上”，“左下”和“左全”，将B₁B₂,B₂B₃,B₁B₃分别被记为“右上”，“右下”和“右全”.则原结论为

2 解法赏析

思路一：

如图2，过A₁作直线A₁C₃,分别交l₂,l₃于

点C₂,C₃,易得四边形A₁C₂B₂B₁，四边形

A₁C₃B₃B₁,四边形C₂C₃B₃B₂都是平行四边形，

所以有B₁B₂=A₁C₂,B₁B₃=A₁C₃.

由平行线之间的距离处处相等，

我们容易得到 ，因此 ，

所以 ,即

再由比例的性质得到另外两个结论。

教师点评：该生将线段的比转化成了三角形面积之比，再算三角形面积时灵活转换底和高，最后应用两条平行线处处等距的性质解决问题。

思路二：

如图3，因为 ，

所以 ,

因为 ,

所以 .所以 ，由等式的性质可得 。

再由等式的基本性质得到另外两个结论。

教师点评：该生利用等面积的两个三角形低之比等于高的反比，简单利索的解决问题。

思路三：

如图4所示建立直角坐标系，则直线m可以表示为

y=kx，其中k表示x每增大1，y的增大量。对应

到图形中就有 ， ，进一步可得

所以 .我们发现左上与左下的比值与直线的倾斜程度无关，所以我们可以推出 ，由等是的基本性质可得另外两条两条结论.（当直线m垂直于l时，我们可以直接得出 。当k为负时，可以在推理过程中加绝对值）。

教师点评：该生根据学习的一次函数中的k的图形意义，再代数于几何之间灵活穿梭，推过推理说明了这些线段的比与直线的倾斜程度无关，从而解决了问题。

在上面的三种方法中，大多数学生使用了方法二，其次是方法一，只有一个人想到了方法三。方法二简洁对称，方法一灵活优美，方法三在代数和几何之间灵活转化，三种方法都颇具数学之美。课本没有提到证明方法，是因为其难度较大，而我也却是被学生的方法惊艳到了。

在处理这届课的内容的时候，我没有完全忠实于课本，而是根据课程标准，学生水平，自身特点等进行了调整，增加了本定理的证明。长期以来，人们总是认为教材内容神圣不可改造，这是一种权威式的教材观，是对教材的一种不恰当的认识。事实上，教材是编者对课程标准的解读与重构，不同的编者也可能会有不同的理解。同样，具体教学也是教师对教材的理解与重构，应该由“忠实取向”的教材观过渡到“调适取向”的教材观，甚至是“创生取向”的教材观[1]。

这项作业富有挑战，处在大多数学生的最近发展区，属于大家“跳一跳就能够着”的知识，有助于发展学生思维。在重新构建后的一节课里，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上也能得到不同的发展。

参考文献；

1. 严文法 教学设计能力实训编者[M].高等教育出版社，2019.7：978-7-04-051955-6

2. 程诗春. 平行,相似与"成比例线段"将何去何从[J]. 广东教育(综合版), 2010, 000(012):42-42

3. 王德康. 平行线分线段成比例定理的三类应用[J]. 高中数理化, 2020(14):7-7

4. 蔡晓栋. 对"平行线分线段成比例"图形变化的研究[J]. 中小学数学:初中版, 2019(Z1)

5. ]胡孟. 让学生体会"基本事实"的合理性——以"平行线分线段成比例"基本事实的探究为例[J]. 湖南教育:下旬(c), 2019(3):46-47